Упрости выражение: 1) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}$

Привет! Давай разберёмся с упрощением выражений. Это совсем несложно, если знать некоторые правила. ### 1. Упрости выражение: $$ \frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b} $$ Сначала упростим первый знаменатель. В нём можно вынести общий множитель $2a$ за скобки: $$ 2a^2 + 2ab = 2a(a + b) $$ Теперь наше выражение выглядит так: $$ \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b} $$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $2a(a + b)$. Для этого вторую дробь нужно умножить на $2a$ (и числитель, и знаменатель): $$ \frac{b}{a + b} = \frac{b \cdot 2a}{(a + b) \cdot 2a} = \frac{2ab}{2a(a + b)} $$ Теперь складываем дроби: $$ \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{2ab}{2a(a + b)} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)} $$ Помнишь формулу квадрата суммы? $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ Как раз такое выражение у нас получилось в числителе! Подставим его: $$ \frac{(a + b)^2}{2a(a + b)} $$ Теперь мы можем сократить $(a + b)$ в числителе и знаменателе (если $a+b \neq 0$): $$ \frac{a + b}{2a} $$ **Ответ: $$\frac{a + b}{2a}$$** ### 2. Упрости выражение: $$ \frac{a^2 + 9}{a^2 - 9} - \frac{a}{a + 3} $$ Сначала посмотрим на знаменатель первой дроби: $a^2 - 9$. Это формула разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ В нашем случае $b^2 = 9$, значит $b = 3$. Тогда: $$ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) $$ Теперь выражение выглядит так: $$ \frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a}{a + 3} $$ Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a - 3)(a + 3)$. Для этого вторую дробь нужно умножить на $(a - 3)$ (и числитель, и знаменатель): $$ \frac{a}{a + 3} = \frac{a \cdot (a - 3)}{(a + 3) \cdot (a - 3)} = \frac{a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 - 3a}{(a - 3)(a + 3)} $$ Теперь вычитаем дроби: $$ \frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a^2 - 3a}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^2 + 9 - (a^2 - 3a)}{(a - 3)(a + 3)} $$ Будь внимателен со знаками, когда раскрываешь скобки после минуса: $$ \frac{a^2 + 9 - a^2 + 3a}{(a - 3)(a + 3)} $$ Теперь упростим числитель: $a^2 - a^2$ сокращается: $$ \frac{9 + 3a}{(a - 3)(a + 3)} $$ В числителе можно вынести 3 за скобки: $$ \frac{3(3 + a)}{(a - 3)(a + 3)} $$ Так как $3 + a$ это то же самое, что $a + 3$, мы можем сократить $(a + 3)$ в числителе и знаменателе (если $a+3 \neq 0$): $$ \frac{3}{a - 3} $$ **Ответ: $$\frac{3}{a - 3} $$**