Реши неравенства: а) $x^2 + 4x + 3 \le 0$, б) $8 - 2x \ge x^2$, в) $-x^2 - 10 \le 7x$, г) $x^2 - 6x + 5 \ge 0$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы решить квадратное неравенство, нужно найти корни квадратного уравнения, а потом определить, где функция больше или меньше нуля. ### 1.1 #### а) $x^2 + 4x + 3 \le 0$ Сначала найдём корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Здесь $a=1$, $b=4$, $c=3$. $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Так как парабола открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный, $a=1>0$), то $x^2 + 4x + 3 \le 0$ будет между корнями. **Ответ: $[-3; -1]$** #### б) $8 - 2x \ge x^2$ Сначала перенесём всё в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства: $-x^2 - 2x + 8 \ge 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства меняется: $x^2 + 2x - 8 \le 0$ Найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Так как парабола открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный, $a=1>0$), то $x^2 + 2x - 8 \le 0$ будет между корнями. **Ответ: $[-4; 2]$** #### в) $-x^2 - 10 \le 7x$ Перенесём все члены в одну сторону и приведём к стандартному виду: $-x^2 - 7x - 10 \le 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знак неравенства меняется: $x^2 + 7x + 10 \ge 0$ Найдём корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$. $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$ $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Так как парабола открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный, $a=1>0$), то $x^2 + 7x + 10 \ge 0$ будет за пределами корней. **Ответ: $(-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$** #### г) $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ $x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Так как парабола открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный, $a=1>0$), то $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ будет за пределами корней. **Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$** ### 1.2 #### а) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$ Заметим, что это полный квадрат: $(x+3)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Это значит, что это неравенство верно для любого $x$. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$** #### б) $-4x^2 + 20x > 25$ Перенесём 25 в левую часть и умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства): $-4x^2 + 20x - 25 > 0$ $4x^2 - 20x + 25 < 0$ Заметим, что это тоже полный квадрат: $(2x - 5)^2 < 0$. Квадрат любого числа не может быть меньше нуля. Он может быть равен нулю или больше нуля. Поэтому у этого неравенства нет решений. **Ответ: Нет решений** #### в) $49x^2 + 14x + 1 \le 0$ Заметим, что это полный квадрат: $(7x+1)^2 \le 0$. Квадрат числа не может быть меньше нуля. Он может быть равен нулю. Значит, нам нужно найти, когда $(7x+1)^2 = 0$. $7x+1 = 0$ $7x = -1$ $x = -\frac{1}{7}$ **Ответ: $x = -\frac{1}{7}$** #### г) $-x^2 + 8x \ge 16$ Перенесём 16 в левую часть и умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства): $-x^2 + 8x - 16 \ge 0$ $x^2 - 8x + 16 \le 0$ Заметим, что это полный квадрат: $(x-4)^2 \le 0$. Квадрат числа не может быть меньше нуля. Он может быть равен нулю. Значит, нам нужно найти, когда $(x-4)^2 = 0$. $x-4 = 0$ $x = 4$ **Ответ: $x = 4$** ### 1.3 #### а) $4x^2 + x + 1 > 0$ Найдём корни уравнения $4x^2 + x + 1 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=4>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X и никогда её не пересекает. Поэтому $4x^2 + x + 1 > 0$ верно для любого $x$. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$** #### б) $7x^2 + 3 \le 2x$ Перенесём $2x$ в левую сторону: $7x^2 - 2x + 3 \le 0$ Найдём корни уравнения $7x^2 - 2x + 3 = 0$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 4 - 84 = -80$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=7>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $7x^2 - 2x + 3 \le 0$ никогда не выполняется. **Ответ: Нет решений** #### в) $3x^2 + 4 < x$ Перенесём $x$ в левую сторону: $3x^2 - x + 4 < 0$ Найдём корни уравнения $3x^2 - x + 4 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $3x^2 - x + 4 < 0$ никогда не выполняется. **Ответ: Нет решений** #### г) $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$ Найдём корни уравнения $5x^2 + 6x + 13 = 0$. $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 36 - 260 = -224$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=5>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $5x^2 + 6x + 13 \ge 0$ верно для любого $x$. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$** ### 1.4 #### а) $-2x^2 + x - 3 < 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знак неравенства меняется: $2x^2 - x + 3 > 0$ Найдём корни уравнения $2x^2 - x + 3 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=2>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $2x^2 - x + 3 > 0$ верно для любого $x$. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$** #### б) $-4x^2 + x - 1 \ge 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знак неравенства меняется: $4x^2 - x + 1 \le 0$ Найдём корни уравнения $4x^2 - x + 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=4>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $4x^2 - x + 1 \le 0$ никогда не выполняется. **Ответ: Нет решений** #### в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знак неравенства меняется: $6x^2 - 5x + 8 < 0$ Найдём корни уравнения $6x^2 - 5x + 8 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 8 = 25 - 192 = -167$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=6>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $6x^2 - 5x + 8 < 0$ никогда не выполняется. **Ответ: Нет решений** #### г) $-3x^2 + 4x - 5 < 0$ Умножим на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знак неравенства меняется: $3x^2 - 4x + 5 > 0$ Найдём корни уравнения $3x^2 - 4x + 5 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$ Дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3>0$). Это значит, что парабола всегда находится выше оси X. Поэтому $3x^2 - 4x + 5 > 0$ верно для любого $x$. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$**