Реши системы уравнений в задании №37.28, а) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 1 \end{cases}$

Привет! Давай разберёмся с этими системами уравнений. Наша задача — найти такие значения \(x\) и \(y\), которые одновременно подходят для обоих уравнений в каждой системе. ### №37.28 **а) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 1 \end{cases}$** Если \(y = x^2\) и \(y = 1\), это значит, что \(x^2\) должно быть равно \(1\). $$x^2 = 1$$ Чтобы найти \(x\), нам нужно извлечь квадратный корень из \(1\). Помни, что при извлечении квадратного корня у нас всегда два ответа: положительный и отрицательный. $$x = \pm \sqrt{1}$$ $$x_1 = 1$$ $$x_2 = -1$$ Так как \(y = 1\) в обоих случаях, у нас две пары решений. **Ответ:** $(1; 1)$ и $(-1; 1)$ **б) $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = -9 \end{cases}$** Если \(y = -x^2\) и \(y = -9\), это значит, что \(-x^2\) должно быть равно \(-9\). $$-x^2 = -9$$ Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы избавиться от минусов: $$x^2 = 9$$ Теперь извлечём квадратный корень из \(9\): $$x = \pm \sqrt{9}$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -3$$ Так как \(y = -9\) в обоих случаях, у нас снова две пары решений. **Ответ:** $(3; -9)$ и $(-3; -9)$ ### №37.29 **а) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x \end{cases}$** Если \(y = x^2\) и \(y = 2x\), значит, мы можем приравнять правые части этих уравнений: $$x^2 = 2x$$ Перенесём \(2x\) влево, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 2x = 0$$ Теперь можно вынести \(x\) за скобки: $$x(x - 2) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас два варианта: $$x_1 = 0$$ или $$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$$ Теперь найдём соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\). Возьмём второе уравнение \(y = 2x\) (оно проще): Если \(x_1 = 0\), то \(y_1 = 2 \cdot 0 = 0\). Если \(x_2 = 2\), то \(y_2 = 2 \cdot 2 = 4\). **Ответ:** $(0; 0)$ и $(2; 4)$ **б) $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = -3x \end{cases}$** Приравняем правые части: $$-x^2 = -3x$$ Перенесём всё в одну сторону, например, влево: $$-x^2 + 3x = 0$$ Умножим на \(-1\) для удобства: $$x^2 - 3x = 0$$ Вынесем \(x\) за скобки: $$x(x - 3) = 0$$ Снова два варианта: $$x_1 = 0$$ или $$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$$ Найдём \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = -3x\): Если \(x_1 = 0\), то \(y_1 = -3 \cdot 0 = 0\). Если \(x_2 = 3\), то \(y_2 = -3 \cdot 3 = -9\). **Ответ:** $(0; 0)$ и $(3; -9)$ ### №37.30 **а) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 6 \end{cases}$** Приравниваем правые части: $$x^2 = x + 6$$ Переносим всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - x - 6 = 0$$ Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно \(-6\), а сумма равна \(1\) (коэффициент при \(x\) с противоположным знаком). Это числа \(3\) и \(-2\). $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$ Теперь найдём \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = x + 6\): Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = 3 + 6 = 9\). Если \(x_2 = -2\), то \(y_2 = -2 + 6 = 4\). **Ответ:** $(3; 9)$ и $(-2; 4)$ **б) $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = -x - 6 \end{cases}$** Приравниваем правые части: $$-x^2 = -x - 6$$ Перенесём всё вправо, чтобы \(x^2\) стало положительным: $$0 = x^2 - x - 6$$ или $$x^2 - x - 6 = 0$$ Это то же самое квадратное уравнение, что и в предыдущем пункте! Значит, и корни будут те же: $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$ Теперь найдём \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = -x - 6\): Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = -3 - 6 = -9\). Если \(x_2 = -2\), то \(y_2 = -(-2) - 6 = 2 - 6 = -4\). **Ответ:** $(3; -9)$ и $(-2; -4)$ ### №37.31 **а) $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$** Приравниваем правые части: $$x^2 = 2x - 3$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^2 - 2x + 3 = 0$$ Теперь попробуем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\). $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3$$ $$D = 4 - 12$$ $$D = -8$$ Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это значит, что у уравнения нет действительных корней. Проще говоря, нет таких чисел \(x\), которые бы удовлетворяли этому уравнению. Значит, эта система уравнений не имеет решений. **Ответ:** Нет решений **б) $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = x - 3 \end{cases}$** Приравниваем правые части: $$-x^2 = x - 3$$ Перенесём всё вправо, чтобы \(x^2\) стало положительным: $$0 = x^2 + x - 3$$ или $$x^2 + x - 3 = 0$$ Решим с помощью дискриминанта. В этом уравнении \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -3\). $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)$$ $$D = 1 + 12$$ $$D = 13$$ Дискриминант положительный, значит, у нас будут два разных корня. Формула для корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$$ Теперь найдём \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = x - 3\): Для \(x_1\): $$y_1 = \left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right) - 3 = \frac{-1 + \sqrt{13} - 6}{2} = \frac{-7 + \sqrt{13}}{2}$$ Для \(x_2\): $$y_2 = \left(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}\right) - 3 = \frac{-1 - \sqrt{13} - 6}{2} = \frac{-7 - \sqrt{13}}{2}$$ **Ответ:** $\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}; \frac{-7 + \sqrt{13}}{2}\right)$ и $\left(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-7 - \sqrt{13}}{2}\right)$