Реши уравнения: $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$, $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$, $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$ и $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$.

Привет! Давай решим эти биквадратные и бикубические уравнения. Это такие уравнения, где переменная стоит в чётной степени, а потом в степени в два раза меньшей, или в степени, кратной трём, а потом в степени в три раза меньшей. ### а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$ Это биквадратное уравнение. Мы можем сделать замену: пусть $y = x^2$. Тогда уравнение станет квадратным относительно $y$: $$y^2 - 17y + 16 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: Сумма корней: $y_1 + y_2 = 17$ Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 16$ Подходят числа 1 и 16. $y_1 = 1$, $y_2 = 16$. Теперь вернёмся к нашей замене $y = x^2$: 1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \sqrt{1}$ или $x = -\sqrt{1}$. Значит, $x_1 = 1$, $x_2 = -1$. 2. Если $y = 16$, то $x^2 = 16$. Отсюда $x = \sqrt{16}$ или $x = -\sqrt{16}$. Значит, $x_3 = 4$, $x_4 = -4$. **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$, $x_4 = -4$** ### б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$ Это уравнение похоже на биквадратное, но здесь степени 6 и 3. Давай сделаем замену: пусть $z = x^3$. Тогда уравнение станет квадратным относительно $z$: $$z^2 - 9z + 8 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: Сумма корней: $z_1 + z_2 = 9$ Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = 8$ Подходят числа 1 и 8. $z_1 = 1$, $z_2 = 8$. Теперь вернёмся к нашей замене $z = x^3$: 1. Если $z = 1$, то $x^3 = 1$. Какое число, умноженное на себя три раза, даст 1? Это 1. Значит, $x_1 = 1$. 2. Если $z = 8$, то $x^3 = 8$. Какое число, умноженное на себя три раза, даст 8? Это 2. Значит, $x_2 = 2$. **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$** ### в) $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $y = x^2$. Тогда уравнение станет квадратным относительно $y$: $$9y^2 - 40y + 16 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024$ $\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$ Найдём $y_1$ и $y_2$: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ Теперь вернёмся к нашей замене $y = x^2$: 1. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$. Значит, $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. 2. Если $y = \frac{4}{9}$, то $x^2 = \frac{4}{9}$. Отсюда $x = \sqrt{\frac{4}{9}}$ или $x = -\sqrt{\frac{4}{9}}$. Значит, $x_3 = \frac{2}{3}$, $x_4 = -\frac{2}{3}$. **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = \frac{2}{3}$, $x_4 = -\frac{2}{3}$** ### г) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ Это уравнение тоже похоже на бикубическое. Сделаем замену: пусть $z = x^3$. Тогда уравнение станет квадратным относительно $z$: $$z^2 - 7z - 8 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: Сумма корней: $z_1 + z_2 = 7$ Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = -8$ Подходят числа 8 и -1. $z_1 = 8$, $z_2 = -1$. Теперь вернёмся к нашей замене $z = x^3$: 1. Если $z = 8$, то $x^3 = 8$. Значит, $x_1 = 2$. 2. Если $z = -1$, то $x^3 = -1$. Какое число, умноженное на себя три раза, даст -1? Это -1. Значит, $x_2 = -1$. **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$**