Найди область определения функции 1.4. а) y = (3x-2)/(5x+3)

Привет! Давай разберемся с этими функциями. Нам нужно найти их области определения. ### 1.4. Найдите область определения функции: а) $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$ Помни, что делить на ноль нельзя! Значит, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Мы должны исключить такое значение $x$. $$5x + 3 \neq 0$$ $$5x \neq -3$$ $$x \neq -\frac{3}{5}$$ **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; +\infty)$ или $x \neq -0,6$** б) $y = \frac{6}{x^2 - 16}$ Здесь тоже знаменатель не должен быть равен нулю. $$x^2 - 16 \neq 0$$ $$x^2 \neq 16$$ $$x \neq \sqrt{16}$$ $$x \neq 4 \text{ и } x \neq -4$$ **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$ или $x \neq \pm 4$** в) $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$ И опять, знаменатель не может быть нулём. $$2x - 4 \neq 0$$ $$2x \neq 4$$ $$x \neq \frac{4}{2}$$ $$x \neq 2$$ **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ или $x \neq 2$** г) $y = \frac{7}{25 - x^2}$ Знаменатель снова не равен нулю. $$25 - x^2 \neq 0$$ $$25 \neq x^2$$ $$x^2 \neq 25$$ $$x \neq \sqrt{25}$$ $$x \neq 5 \text{ и } x \neq -5$$ **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$ или $x \neq \pm 5$** ### 1.5. Найдите область определения функции: а) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ Помни, что под корнем (квадратным) не может быть отрицательного числа. Значит, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. $$x^2 - 3x + 2 \ge 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Так как парабола $x^2 - 3x + 2$ направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), то $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ при $x \le 1$ или $x \ge 2$. **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$** в) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$ Снова, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. $$x^2 + 4x - 12 \ge 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Парабола $x^2 + 4x - 12$ направлена ветвями вверх. Значит $x^2 + 4x - 12 \ge 0$ при $x \le -6$ или $x \ge 2$. **Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -6] \cup [2; +\infty)$**