Докажи, что при любом значении 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Нужно доказать, что они всегда верны, независимо от того, какое число мы подставим вместо буквы. ### Задание 9. 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$ Сначала раскроем скобки с обеих сторон неравенства: Левая часть: $(p - 3)(p + 4) = p \cdot p + p \cdot 4 - 3 \cdot p - 3 \cdot 4 = p^2 + 4p - 3p - 12 = p^2 + p - 12$ Правая часть: $p(p + 1) = p \cdot p + p \cdot 1 = p^2 + p$ Теперь подставим это обратно в неравенство: $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Вычтем из обеих частей $p^2$ и $p$: $p^2 + p - 12 - p^2 - p < p^2 + p - p^2 - p$ $-12 < 0$ Мы получили верное неравенство $-12 < 0$. Это значит, что исходное неравенство $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$ всегда верно для любого числа $p$. Мы доказали его! 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ Снова раскроем скобки. В левой части у нас квадрат суммы, а в правой — умножение: Левая часть: $(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$ Правая часть: $x(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 = x^2 + 2x$ Подставим это в неравенство: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем из обеих частей $x^2$ и $2x$: $x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x > x^2 + 2x - x^2 - 2x$ $1 > 0$ Мы получили верное неравенство $1 > 0$. Значит, исходное неравенство $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ всегда верно для любого числа $x$. И это мы доказали! 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ Раскроем скобки в обеих частях: Левая часть: $(a - 5)(a + 2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 5 \cdot a - 5 \cdot 2 = a^2 + 2a - 5a - 10 = a^2 - 3a - 10$ Правая часть: $(a + 5)(a - 8) = a \cdot a - a \cdot 8 + 5 \cdot a - 5 \cdot 8 = a^2 - 8a + 5a - 40 = a^2 - 3a - 40$ Подставим эти выражения в неравенство: $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем из обеих частей $a^2$ и $-3a$ (то есть прибавим $3a$): $a^2 - 3a - 10 - a^2 + 3a > a^2 - 3a - 40 - a^2 + 3a$ $-10 > -40$ Мы получили верное неравенство $-10 > -40$. Это верно, ведь $-10$ ближе к нулю, чем $-40$. Значит, исходное неравенство $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ всегда верно для любого числа $a$. Ура, доказали и это! Все три неравенства доказаны!