Привет! Давай разберемся с этими заданиями про множества. Это совсем не сложно, главное — внимательно читать условия.
### Задание 1.13. Найди пересечение множеств $A$ и $B$.
Пересечение множеств — это когда мы ищем элементы, которые есть **одновременно** и в первом множестве, и во втором. Представь, что у тебя есть коробка с красными игрушками (множество $A$) и коробка с мягкими игрушками (множество $B$). Пересечением будут те игрушки, которые и красные, и мягкие.
1. $A = \{x \mid x < 19\}$, $B = \{x \mid x \in N, x > 11\}$
* Множество $A$ — это все числа, которые меньше 19. Если не сказано, что $x$ натуральное, мы считаем, что это все числа. Но так как в множестве $B$ говорится про $N$ (натуральные числа), то обычно в таких заданиях подразумевается, что мы работаем в одной области. Допущение: $x \in N$ для множества $A$.
* Значит, $A = \{1, 2, 3, ..., 18\}$
* Множество $B$ — это натуральные числа, которые больше 11. То есть $B = \{12, 13, 14, ...\}$
* Какие числа есть и в $A$, и в $B$? Это числа, которые больше 11, но меньше 19.
* **Ответ: $A \cap B = \{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$**
2. $A = \{x \mid x = 4n, n \in N\}$, $B = \{x \mid x = 6n, n \in N\}$
* Множество $A$ — это числа, которые делятся на 4 без остатка (кратны 4). Например, $4 \cdot 1 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $4 \cdot 3 = 12$, и так далее.
* Множество $B$ — это числа, которые делятся на 6 без остатка (кратны 6). Например, $6 \cdot 1 = 6$, $6 \cdot 2 = 12$, $6 \cdot 3 = 18$, и так далее.
* Пересечение — это числа, которые делятся и на 4, и на 6. Такие числа называются общими кратными. Самое маленькое такое число — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.
* НОК(4, 6): $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$. НОК = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.
* Значит, все числа, которые есть и в $A$, и в $B$, будут кратны 12.
* **Ответ: $A \cap B = \{x \mid x = 12n, n \in N\}$**
3. $A = \{(x, y) \mid 2x - y = 1\}$, $B = \{(x, y) \mid x + y = 5\}$
* Здесь у нас пары чисел $(x, y)$, которые являются решениями уравнений. Пересечение множеств — это общие решения для обоих уравнений, то есть система уравнений.
$$\begin{cases} 2x - y = 1 \ x + y = 5 \end{cases}$$
* Давай сложим эти два уравнения, чтобы избавиться от $y$:
$$ (2x - y) + (x + y) = 1 + 5 $$
$$ 3x = 6 $$
$$ x = \frac{6}{3} $$
$$ x = 2 $$
* Теперь подставим $x = 2$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$$ 2 + y = 5 $$
$$ y = 5 - 2 $$
$$ y = 3 $$
* Значит, общая пара $(x, y)$ это $(2, 3)$.
* **Ответ: $A \cap B = \{(2, 3)\}$**
### Задание 1.14. Найди объединение множеств $A$ и $B$.
Объединение множеств — это когда мы собираем все элементы из первого множества и все элементы из второго множества вместе, не повторяя те, что встречаются дважды. Если взять пример с игрушками: коробка с красными игрушками (множество $A$) и коробка с мягкими игрушками (множество $B$). Объединением будут все игрушки, которые либо красные, либо мягкие, либо и то, и другое.
1. $A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}$, $B = \{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}$
* Найдем элементы множества $A$: $x^2 - 1 = 0$.
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = 1 \text{ или } x = -1 $$
* Значит, $A = \{-1, 1\}$
* Найдем элементы множества $B$: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
* Это уравнение верно, если $x - 1 = 0$ или $x - 2 = 0$.
$$ x = 1 \text{ или } x = 2 $$
* Значит, $B = \{1, 2\}$
* Теперь соберем все элементы из $A$ и $B$ вместе, не повторяя:
* **Ответ: $A \cup B = \{-1, 1, 2\}$**
2. $A = \{x \mid 2x + 3 = 0\}$, $B = \{x \mid x^2 + 3 = 2\}$
* Найдем элементы множества $A$: $2x + 3 = 0$.
$$ 2x = -3 $$
$$ x = -\frac{3}{2} $$
* Значит, $A = \{-\frac{3}{2}\}$
* Найдем элементы множества $B$: $x^2 + 3 = 2$.
$$ x^2 = 2 - 3 $$
$$ x^2 = -1 $$
* Здесь нет таких чисел $x$, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число. Если мы работаем с действительными числами, то у этого уравнения нет решений. То есть множество $B$ пустое.
* Значит, $B = \emptyset$ (пустое множество).
* Объединение множества $A$ с пустым множеством $B$ будет просто множество $A$.
* **Ответ: $A \cup B = \{-\frac{3}{2}\}$**
3. $A = \{x \mid x \in N, x < 5\}$, $B = \{x \mid x \in N, x < 7\}$
* Множество $A$ — это натуральные числа, которые меньше 5. Натуральные числа начинаются с 1.
* Значит, $A = \{1, 2, 3, 4\}$
* Множество $B$ — это натуральные числа, которые меньше 7.
* Значит, $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
* Теперь соберем все элементы из $A$ и $B$ вместе, не повторяя. Мы видим, что все элементы из $A$ уже входят в $B$.
* **Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$**
