Привет! Давай разберёмся с этим заданием.
Задание 9 просит нас представить многочлены в виде произведения, используя формулы сокращённого умножения. Помнишь такие формулы, как разность квадратов (a² - b² = (a - b)(a + b)) или разность кубов (a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²))?
1) $x^3 - 4$: Это похоже на разность кубов, но 4 не является кубом целого числа. Допущение: возможно, в задании опечатка, и имелась в виду разность квадратов $x^2 - 4$ или $x^3 - 8$. Если это $x^2 - 4$, то решение будет:
$$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$$
Если это $x^3 - 8$, то решение будет:
$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$
Если же имелось в виду именно $x^3 - 4$, то без использования корней это нельзя разложить на множители по формулам сокращённого умножения. Разложение будет выглядеть так:
$$x^3 - 4 = (x - \sqrt[3]{4})(x^2 + \sqrt[3]{4}x + \sqrt[3]{16})$$
2) $25n^2 - 49p^4$: Здесь мы видим разность квадратов, потому что $25n^2 = (5n)^2$ и $49p^4 = (7p^2)^2$.
$$25n^2 - 49p^4 = (5n)^2 - (7p^2)^2 = (5n - 7p^2)(5n + 7p^2)$$
3) $1\frac{9}{16}a^2 - 0,09b^2$: Тут тоже разность квадратов. Сначала переведём дроби в удобный вид: $1\frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$, а $0,09 = \frac{9}{100}$.
Тогда $1\frac{9}{16}a^2 = \left(\frac{5}{4}a\right)^2$ и $0,09b^2 = (0,3b)^2$.
$$\frac{25}{16}a^2 - 0,09b^2 = \left(\frac{5}{4}a\right)^2 - (0,3b)^2 = \left(\frac{5}{4}a - 0,3b\right)\left(\frac{5}{4}a + 0,3b\right)$$
4) $0,0081x^6 - 1\frac{7}{9}y^{10}$: Снова разность квадратов! $0,0081x^6 = (0,09x^3)^2$ и $1\frac{7}{9}y^{10} = \frac{16}{9}y^{10} = \left(\frac{4}{3}y^5\right)^2$.
$$0,0081x^6 - 1\frac{7}{9}y^{10} = (0,09x^3)^2 - \left(\frac{4}{3}y^5\right)^2 = \left(0,09x^3 - \frac{4}{3}y^5\right)\left(0,09x^3 + \frac{4}{3}y^5\right)$$
Теперь перейдём к заданию 10. Здесь нужно разложить многочлен на множители. Это может быть вынесение общего множителя за скобки или применение формул сокращённого умножения.
1) $3a^2 + 12ab + 12b^2$: Сначала заметим, что все члены делятся на 3. Вынесем 3 за скобки:
$$3a^2 + 12ab + 12b^2 = 3(a^2 + 4ab + 4b^2)$$
Теперь посмотрим на выражение в скобках: $a^2 + 4ab + 4b^2$. Это квадрат суммы, потому что $a^2$ — это $a$ в квадрате, $4b^2$ — это $(2b)$ в квадрате, а $4ab$ — это $2 \cdot a \cdot (2b)$. Значит, это $(a + 2b)^2$.
$$3(a^2 + 4ab + 4b^2) = 3(a + 2b)^2$$
2) $6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4$: Здесь тоже есть общий множитель. Посмотрим на числа: 6, 36, 54 — все делятся на 6. Посмотрим на $a$: $a^3, a^2, a$ — общий множитель $a$. Посмотрим на $b$: $b^2, b^3, b^4$ — общий множитель $b^2$. Значит, общий множитель $6ab^2$.
Вынесем $6ab^2$ за скобки:
$$6a^3b^2 - 36a^2b^3 + 54ab^4 = 6ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2)$$
Теперь посмотрим на выражение в скобках: $a^2 - 6ab + 9b^2$. Это квадрат разности, потому что $a^2$ — это $a$ в квадрате, $9b^2$ — это $(3b)$ в квадрате, а $-6ab$ — это $-2 \cdot a \cdot (3b)$. Значит, это $(a - 3b)^2$.
$$6ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2) = 6ab^2(a - 3b)^2$$
3) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$: Здесь сначала видно квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Тогда наше выражение становится:
$$(a - b)^2 - c^2$$
А это уже разность квадратов, где первое выражение $(a - b)$, а второе $c$.
$$(a - b)^2 - c^2 = ((a - b) - c)((a - b) + c) = (a - b - c)(a - b + c)$$
**Ответ:**
**Задание 9:**
**1) $x^3 - 4$: Если считать опечаткой, то $(x-2)(x+2)$ или $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Если без опечатки, то $(x - \sqrt[3]{4})(x^2 + \sqrt[3]{4}x + \sqrt[3]{16})$**
**2) $(5n - 7p^2)(5n + 7p^2)$**
**3) $\left(\frac{5}{4}a - 0,3b\right)\left(\frac{5}{4}a + 0,3b\right)$**
**4) $\left(0,09x^3 - \frac{4}{3}y^5\right)\left(0,09x^3 + \frac{4}{3}y^5\right)$**
**Задание 10:**
**1) $3(a + 2b)^2$**
**2) $6ab^2(a - 3b)^2$**
**3) $(a - b - c)(a - b + c)$**
