Реши систему уравнений: $x^2 - xy - 2y^2 = 0$, $x^2 + y^2 = 20$

Привет! Давай решим систему уравнений из задания 2.14 а). Вот наша система: $$\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0 \ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$$ 1. Смотрим на первое уравнение: $x^2 - xy - 2y^2 = 0$. Это однородное уравнение. Мы можем разделить обе части на $y^2$ (если $y \neq 0$). Если $y=0$, то $x^2=0$, то есть $x=0$. Подставим $x=0, y=0$ во второе уравнение: $0^2+0^2=0 \neq 20$. Значит, $y$ точно не равен $0$, и мы можем делить на $y^2$. Получим: $$\frac{x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} - \frac{2y^2}{y^2} = 0$$ $$(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - 2 = 0$$ 2. Теперь давай сделаем замену. Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение станет: $$t^2 - t - 2 = 0$$ 3. Решим это квадратное уравнение. Можем использовать формулу корней квадратного уравнения или найти корни по теореме Виета (сумма корней равна 1, произведение равно -2). Корни будут: $$(t-2)(t+1) = 0$$ Значит, $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$. 4. Теперь вернёмся к нашей замене. У нас есть два случая: **Случай 1:** $t = 2 \Rightarrow \frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y$ Подставим $x = 2y$ во второе уравнение системы ($x^2 + y^2 = 20$): $$(2y)^2 + y^2 = 20$$ $$4y^2 + y^2 = 20$$ $$5y^2 = 20$$ $$y^2 = 4$$ Отсюда $y = 2$ или $y = -2$. * Если $y = 2$, то $x = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем решение $(4, 2)$. * Если $y = -2$, то $x = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$. **Случай 2:** $t = -1 \Rightarrow \frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y$ Подставим $x = -y$ во второе уравнение системы ($x^2 + y^2 = 20$): $$(-y)^2 + y^2 = 20$$ $$y^2 + y^2 = 20$$ $$2y^2 = 20$$ $$y^2 = 10$$ Отсюда $y = \sqrt{10}$ или $y = -\sqrt{10}$. * Если $y = \sqrt{10}$, то $x = -\sqrt{10}$. Получаем решение $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$. * Если $y = -\sqrt{10}$, то $x = -(-\sqrt{10}) = \sqrt{10}$. Получаем решение $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$. **Ответ:** Система имеет четыре решения: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$, $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.