Докажи, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Привет! Это очень интересная задача по геометрии. Давай разберемся вместе! **Задание 15:** Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. **Решение:** Давай представим треугольник $ABC$. Пусть $BD$ — это медиана, проведённая к стороне $AC$. Медиана делит сторону пополам, значит, $AD = DC$. По условию задачи, эта медиана $BD$ также является и высотой. Высота — это отрезок, опущенный из вершины на противоположную сторону под прямым углом. Значит, $BD$ перпендикулярна $AC$, а это означает, что углы $BDA$ и $BDC$ равны $90^\circ$. То есть, $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$. Теперь давай рассмотрим два маленьких треугольника, которые получились: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Мы знаем про эти треугольники следующее: 1. $AD = DC$ (потому что $BD$ — это медиана). 2. $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$ (потому что $BD$ — это высота). 3. Сторона $BD$ — общая для обоих треугольников. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (это называется СУС — Сторона-Угол-Сторона), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: - Сторона $AD$ в $\triangle ABD$ равна стороне $DC$ в $\triangle CBD$. - Угол $\angle BDA$ в $\triangle ABD$ равен углу $\angle BDC$ в $\triangle CBD$. - Сторона $BD$ общая. Значит, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны! А если треугольники равны, то и все их соответствующие стороны и углы тоже равны. В частности, сторона $AB$ в $\triangle ABD$ равна стороне $CB$ в $\triangle CBD$. То есть, $AB = CB$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. **Вывод:** Так как $AB = CB$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Мы доказали, что если медиана в треугольнике одновременно является и его высотой, то этот треугольник обязательно будет равнобедренным. Молодец!