Заполни пропуски в заданиях по геометрии: сумма углов выпуклого n-угольника, свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Привет! Давай вместе заполним пропуски в этом тесте по геометрии. ### Часть I 1. Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна: $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. *Пояснение:* Это такое правило для любого многоугольника без "вмятин" — чтобы найти сумму всех его внутренних углов, нужно от количества сторон ($n$) отнять 2, а потом умножить на $180^{\circ}$. 2. Если $ABCD$ – параллелограмм (рис. 1), то: а) $AO = OC$, $BO = OD$. *Пояснение:* В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. б) $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). *Пояснение:* Если две параллельные линии пересекает третья, то углы, которые находятся по разные стороны от этой третьей линии и между параллельными, называются накрест лежащими и они равны. в) $AB = CD$, $BC = AD$. *Пояснение:* В параллелограмме противоположные стороны равны. г) $S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$. *Пояснение:* Площадь треугольника, образованного двумя половинками диагоналей и одной стороной, составляет четверть от общей площади параллелограмма. д) $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin A$. *Пояснение:* Площадь параллелограмма можно найти, умножив две соседние стороны на синус угла между ними. е) $AD \cdot BE = S_{ABCD}$. *Пояснение:* Здесь $BE$ — это высота, опущенная на сторону $AD$. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. 3. Если $ABCD$ – прямоугольник (рис. 2), то: а) $AO = BD$. *Пояснение:* В прямоугольнике диагонали равны, и точкой пересечения они делятся пополам, поэтому половина одной диагонали равна половине другой. б) $\angle A = \angle C = 90^{\circ}$. *Пояснение:* У прямоугольника все углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. в) $AC = \sqrt{AB^2 + CD^2}$. *Пояснение:* В прямоугольном треугольнике $ABC$ (или $ADC$) по теореме Пифагора диагональ $AC$ (гипотенуза) в квадрате равна сумме квадратов сторон $AB$ и $BC$. Так как $BC=AD$, то $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2}$. Предполагаю, что в задании опечатка и имелось ввиду $AD$ вместо $CD$, либо $CD$ — это опечатка, а на самом деле это $BC$. В прямоугольнике $AB = CD$, так что это верное утверждение. г) $S_{AOD} = AB \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$. *Пояснение:* Площадь треугольника $AOD$ — это половина площади треугольника $ABD$. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $AB \cdot AD$. Диагональ $BD$ делит прямоугольник на два равных треугольника $ABD$ и $BCD$. А диагонали делят треугольники пополам, поэтому $S_{AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} AB \cdot AD$. Возможно, тут тоже опечатка, и имелось в виду $\frac{1}{2} S_{ABCD}$ или $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD$. Заполняю, исходя из площади прямоугольника $AB \cdot AD$, и тогда это будет $S_{AOD} = \frac{1}{4} AB \cdot AD$. 4. Если $ABCD$ – ромб (рис. 3), то: а) $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$. *Пояснение:* Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. б) $AO$ – биссектриса угла $A$. *Пояснение:* Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. в) $AC \perp BD$. *Пояснение:* Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. г) $BK = BE$. *Пояснение:* Высоты, опущенные из одной вершины на противоположные стороны, равны, так как все стороны ромба равны, и расстояния между параллельными сторонами одинаковы.