Запиши в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0,(6)$

Привет! Давай разберемся с этими задачками. ### Задание 3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: Мы хотим превратить бесконечные десятичные дроби в обыкновенные. Для этого нужно записать дробь как $x$, потом умножить её на 10, 100 или 1000 (так, чтобы после запятой повторяющаяся часть была с самого начала) и вычесть из большего числа меньшее. 1) $0,(6)$ Пусть $x = 0,(6)$, то есть $x = 0,666...$ Умножим $x$ на 10, чтобы повторяющаяся часть началась сразу после запятой: $10x = 6,666...$ Теперь вычтем $x$ из $10x$: $10x - x = 6,666... - 0,666...$ $9x = 6$ $x = \frac{6}{9}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $x = \frac{2}{3}$ **Ответ: $\frac{2}{3}$** 2) $1,(55)$ Пусть $x = 1,(55)$, то есть $x = 1,5555...$ Умножим $x$ на 100, потому что две цифры повторяются (55), и нам нужно, чтобы они начинались сразу после запятой: $100x = 155,5555...$ Теперь вычтем $x$ из $100x$: $100x - x = 155,5555... - 1,5555...$ $99x = 154$ $x = \frac{154}{99}$ Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 11: $x = \frac{14}{9}$ **Ответ: $\frac{14}{9}$** 3) $0,1(2)$ Пусть $x = 0,1(2)$, то есть $x = 0,1222...$ Сначала умножим $x$ на 10, чтобы запятая оказалась перед повторяющейся частью: $10x = 1,222...$ Теперь умножим $x$ на 100, чтобы запятая оказалась после первого повтора: $100x = 12,222...$ Вычтем $10x$ из $100x$: $100x - 10x = 12,222... - 1,222...$ $90x = 11$ $x = \frac{11}{90}$ **Ответ: $\frac{11}{90}$** 4) $-0,(8)$ Пусть $x = -0,(8)$. Мы можем работать с $0,(8)$ и в конце поставить минус. Пусть $y = 0,(8)$, то есть $y = 0,888...$ Умножим $y$ на 10: $10y = 8,888...$ Вычтем $y$ из $10y$: $10y - y = 8,888... - 0,888...$ $9y = 8$ $y = \frac{8}{9}$ Теперь вернём минус: $x = -\frac{8}{9}$ **Ответ: $-\frac{8}{9}$** 5) $-3,(27)$ Пусть $x = -3,(27)$. Мы можем работать с $3,(27)$ и в конце поставить минус. Пусть $y = 3,(27)$, то есть $y = 3,272727...$ Можно представить $y$ как $3 + 0,(27)$. Найдем $0,(27)$: Пусть $z = 0,(27)$, то есть $z = 0,2727...$ Умножим $z$ на 100: $100z = 27,2727...$ Вычтем $z$ из $100z$: $100z - z = 27,2727... - 0,2727...$ $99z = 27$ $z = \frac{27}{99}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: $z = \frac{3}{11}$ Теперь вернёмся к $y$: $y = 3 + \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{3}{11} = \frac{33+3}{11} = \frac{36}{11}$ И вернём минус: $x = -\frac{36}{11}$ **Ответ: $-\frac{36}{11}$** 6) $-2,3(82)$ Пусть $x = -2,3(82)$. Мы можем работать с $2,3(82)$ и в конце поставить минус. Пусть $y = 2,3(82)$, то есть $y = 2,3828282...$ Можно представить $y$ как $2,3 + 0,0(82)$. Это не очень удобно, лучше использовать метод с умножением. Умножим $y$ на 10, чтобы запятая оказалась перед повторяющейся частью: $10y = 23,828282...$ Умножим $y$ на 1000 (потому что после запятой 3 цифры, и две из них повторяются), чтобы запятая оказалась после первого повтора: $1000y = 2382,828282...$ Вычтем $10y$ из $1000y$: $1000y - 10y = 2382,828282... - 23,828282...$ $990y = 2359$ $y = \frac{2359}{990}$ Теперь вернём минус: $x = -\frac{2359}{990}$ **Ответ: $-\frac{2359}{990}$**