Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Они про то, какие значения может принимать переменная, чтобы выражение имело смысл. **11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** * **Допустимые значения переменной** — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, мы не можем делить на ноль, поэтому если переменная в знаменателе, нужно исключить те значения, при которых знаменатель обращается в ноль. а) $x^2 - 8x + 9$; Это обычное выражение, здесь нет деления или корней. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$; В этом выражении есть дробь, а делить на ноль нельзя! Поэтому знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. Давай найдем, когда он равен нулю: $6x - 3 = 0$ $6x = 3$ $x = \frac{3}{6}$ $x = 0,5$ Значит, $x$ не может быть равен $0,5$. Все остальные числа подходят. **Ответ: $x \neq 0,5$.** в) $\frac{3x-6}{7}$; Здесь знаменатель — это просто число $7$. Оно никогда не будет нулём. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$; Опять у нас дробь, и знаменатель не должен быть равен нулю. Знаменатель $4x(x+1)$. Чтобы произведение было равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Значит, нужно исключить случаи, когда $4x=0$ или $x+1=0$. Если $4x = 0$, то $x = 0$. Если $x+1 = 0$, то $x = -1$. Значит, $x$ не может быть равен $0$ и $x$ не может быть равен $-1$. **Ответ: $x \neq 0$, $x \neq -1$.** д) $\frac{x-5}{x^2+25}$; Здесь знаменатель $x^2+25$. Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равен нулю (потому что любое число в квадрате либо положительное, либо ноль). Значит, $x^2+25$ всегда будет больше $25$, и никогда не будет равно нулю. Так что $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$; Тут у нас сумма двух дробей. У каждой дроби есть свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $x+8 \neq 0$, значит $x \neq -8$. Для второй дроби: $x \neq 0$. Значит, нужно исключить оба этих значения. **Ответ: $x \neq -8$, $x \neq 0$.** **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** * Принцип тот же: знаменатель не должен быть равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$; Знаменатель — число $11$, которое не равно нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$; Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2)$. $y(y-2) = 0$ означает, что $y=0$ или $y-2=0$. Если $y-2=0$, то $y=2$. Значит, $y$ не может быть равен $0$ и $y$ не может быть равен $2$. **Ответ: $y \neq 0$, $y \neq 2$.** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$; Знаменатель $y^2+3$. Как и в примере 11д), $y^2$ всегда больше или равен нулю, поэтому $y^2+3$ всегда будет больше $3$ и никогда не будет нулём. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$; Опять сумма дробей. Для первой дроби: $y-6 \neq 0$, значит $y \neq 6$. Для второй дроби: $y+6 \neq 0$, значит $y \neq -6$. Значит, $y$ не может быть равен $6$ и $y$ не может быть равен $-6$. **Ответ: $y \neq 6$, $y \neq -6$.** е) $\frac{32}{y} + \frac{y+1}{y+7}$; Сумма дробей. Для первой дроби: $y \neq 0$. Для второй дроби: $y+7 \neq 0$, значит $y \neq -7$. Значит, $y$ не может быть равен $0$ и $y$ не может быть равен $-7$. **Ответ: $y \neq 0$, $y \neq -7$.** б) $\frac{25}{y-9}$; Знаменатель $y-9$ не должен быть равен нулю. $y-9 = 0$ $y = 9$ Значит, $y$ не может быть равен $9$. **Ответ: $y \neq 9$.** **13. Найдите область определения функции:** * **Область определения функции** — это все значения переменной $x$, при которых функция существует. Это то же самое, что и допустимые значения переменной. а) $y = \frac{1}{x-2}$; Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 = 0$ $x = 2$ Значит, $x$ не может быть равен $2$. **Ответ: $x \neq 2$.** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$; Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. $x = 0$ или $x+1 = 0$. Если $x+1=0$, то $x=-1$. Значит, $x$ не может быть равен $0$ и $x$ не может быть равен $-1$. **Ответ: $x \neq 0$, $x \neq -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$; Здесь у нас есть слагаемое с дробью. Знаменатель этой дроби $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 = 0$ $x = -5$ Значит, $x$ не может быть равен $-5$. **Ответ: $x \neq -5$.** **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно:** * Чтобы найти, при каком $x$ дробь равна определённому значению, нужно приравнять дробь к этому значению и решить уравнение. а) $1$; $\frac{x-3}{5} = 1$ Умножим обе части на $5$: $x-3 = 5$ $x = 5+3$ $x = 8$ **Ответ: $x = 8$.** б) $0$; $\frac{x-3}{5} = 0$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель нет. Знаменатель у нас $5$, он не ноль. Значит, числитель $x-3$ должен быть равен нулю. $x-3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$.** в) $-1$; $\frac{x-3}{5} = -1$ Умножим обе части на $5$: $x-3 = -5$ $x = -5+3$ $x = -2$ **Ответ: $x = -2$.** г) $3$? $\frac{x-3}{5} = 3$ Умножим обе части на $5$: $x-3 = 15$ $x = 15+3$ $x = 18$ **Ответ: $x = 18$.** **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** * Значение дроби равно нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. а) $\frac{y-5}{8}$; Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Знаменатель $8$ не ноль. $y-5 = 0$ $y = 5$ **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y+3}{10}$; Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Знаменатель $10$ не ноль. $2y+3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ $y = -1,5$ **Ответ: $y = -1,5$.** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$; Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю ($x \neq -4$). Произведение $x(x-1)=0$ когда $x=0$ или $x-1=0$. Если $x-1=0$, то $x=1$. Оба этих значения ($0$ и $1$) не равны $-4$, так что они подходят. **Ответ: $x = 0$, $x = 1$.** г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$? Числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю. Сначала найдем, когда знаменатель равен нулю: $2x+6=0$, $2x=-6$, $x=-3$. Значит, $x \neq -3$. Теперь числитель: $x(x+3)=0$ когда $x=0$ или $x+3=0$. Если $x+3=0$, то $x=-3$. Мы видим, что $x=-3$ делает и числитель, и знаменатель нулём. В таком случае говорят, что дробь не определена. Поэтому $x=-3$ не подходит. Остаётся только $x=0$. **Ответ: $x = 0$.** **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** * И снова, значение дроби равно нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. а) $\frac{m+4}{6}$; Числитель $m+4$ должен быть равен нулю. $m+4 = 0$ $m = -4$ **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7-5n}{11}$; Числитель $7-5n$ должен быть равен нулю. $7-5n = 0$ $-5n = -7$ $5n = 7$ $n = \frac{7}{5}$ $n = 1,4$ **Ответ: $n = 1,4$.** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$; Числитель $b^2-b$ должен быть равен нулю. Знаменатель $b+2$ не должен быть равен нулю ($b \neq -2$). Вынесем $b$ за скобки в числителе: $b(b-1)=0$. Это значит, что $b=0$ или $b-1=0$. Если $b-1=0$, то $b=1$. Оба значения ($0$ и $1$) не равны $-2$, так что они подходят. **Ответ: $b = 0$, $b = 1$.** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$; Числитель $y^2-25$ должен быть равен нулю. Знаменатель $3y-15$ не должен быть равен нулю. Сначала знаменатель: $3y-15=0$, $3y=15$, $y=5$. Значит, $y \neq 5$. Теперь числитель: $y^2-25=0$. Это разность квадратов, её можно записать как $(y-5)(y+5)=0$. Это значит, что $y-5=0$ или $y+5=0$. Если $y-5=0$, то $y=5$. Если $y+5=0$, то $y=-5$. Мы нашли, что $y=5$ делает знаменатель нулём, поэтому это значение не подходит. Остаётся только $y=-5$. **Ответ: $y = -5$.** **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** * Вспомни правило: если у дроби (или при делении) числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба плюса или оба минуса), то результат будет положительным ($+$). Если знаки разные (один плюс, другой минус), то результат будет отрицательным ($-$). а) $a > 0$ и $b > 0$; $a$ — положительное число ($+$), $b$ — положительное число ($+$). Знаки одинаковые, значит, дробь $\frac{a}{b}$ будет положительной. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ положительная ($>0$).** б) $a > 0$ и $b < 0$; $a$ — положительное число ($+$), $b$ — отрицательное число ($-$). Знаки разные, значит, дробь $\frac{a}{b}$ будет отрицательной. **Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ отрицательная ($<0$).**