Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре.
### Упражнения
#### 1. Какие из выражений являются целыми, какие — дробными?
Чтобы понять, целое выражение или дробное, нужно посмотреть, есть ли в знаменателе переменная. Если есть, то это дробное выражение. Если нет, или знаменателя вообще нет (значит, он равен 1), то это целое выражение.
а) $\frac{1}{3}a^2b$
Это целое выражение, потому что переменные $a$ и $b$ стоят в числителе, а в знаменателе только число.
б) $(x-y)^2 - 4xy$
Это целое выражение, так как здесь нет деления на выражение с переменной.
в) $\frac{m+3}{m-3}$
Это дробное выражение, потому что переменная $m$ есть в знаменателе.
г) $x^2 + y^2$
Это целое выражение, потому что нет деления на выражение с переменной.
д) $\frac{a^2-2ab}{12}$
Это целое выражение, так как в знаменателе только число 12.
е) $(c+3)^2 + \frac{2}{c}$
Это дробное выражение, потому что переменная $c$ есть в знаменателе.
**Ответ:**
* **Целые выражения:** $\frac{1}{3}a^2b$, $(x-y)^2 - 4xy$, $x^2 + y^2$, $\frac{a^2-2ab}{12}$.
* **Дробные выражения:** $\frac{m+3}{m-3}$, $(c+3)^2 + \frac{2}{c}$.
#### 2. Из рациональных выражений $7x^2 - 2xy$, $\frac{a}{9}$, $\frac{12}{b}$, $a(a-b) - \frac{b}{3a}$, $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$, $\frac{a}{a+3} - 8$ выпишите те, которые являются:
а) целыми выражениями;
б) дробными выражениями.
Здесь принцип тот же, что и в первом задании. Смотрим на знаменатель.
а) **Целые выражения:**
* $7x^2 - 2xy$ (нет деления на переменную)
* $\frac{a}{9}$ (в знаменателе только число 9)
* $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$ (в знаменателях только числа 4 и 3)
б) **Дробные выражения:**
* $\frac{12}{b}$ (в знаменателе переменная $b$)
* $a(a-b) - \frac{b}{3a}$ (в знаменателе переменная $a$)
* $\frac{a}{a+3} - 8$ (в знаменателе выражение с переменной $a$)
**Ответ:**
* **а) Целые выражения:** $7x^2 - 2xy$, $\frac{a}{9}$, $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$.
* **б) Дробные выражения:** $\frac{12}{b}$, $a(a-b) - \frac{b}{3a}$, $\frac{a}{a+3} - 8$.
#### 3. Найдите значение дроби $\frac{y-1}{4}$ при $y = 3$; $1$; $-5$; $\frac{1}{2}$; $-1,6$; $100$.
Для этого просто подставим каждое значение $y$ в дробь.
* При $y=3$: $\frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (или $0,5$)
* При $y=1$: $\frac{1-1}{4} = \frac{0}{4} = 0$
* При $y=-5$: $\frac{-5-1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ (или $-1,5$)
* При $y=\frac{1}{2}$: $\frac{\frac{1}{2}-1}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$ (или $-0,125$)
* При $y=-1,6$: $\frac{-1,6-1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$
* При $y=100$: $\frac{100-1}{4} = \frac{99}{4} = 24\frac{3}{4}$ (или $24,75$)
**Ответ:**
* При $y=3$: $\frac{1}{2}$ (или $0,5$)
* При $y=1$: $0$
* При $y=-5$: $-\frac{3}{2}$ (или $-1,5$)
* При $y=\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{8}$ (или $-0,125$)
* При $y=-1,6$: $-0,65$
* При $y=100$: $24\frac{3}{4}$ (или $24,75$)
#### 4. Найдите значение дроби:
а) $\frac{a-8}{2a+5}$ при $a=-2$;
б) $\frac{b^2+6}{2b}$ при $b=3$.
Будем подставлять значения переменных в дроби.
а) При $a=-2$: $\frac{-2-8}{2(-2)+5} = \frac{-10}{-4+5} = \frac{-10}{1} = -10$
б) При $b=3$: $\frac{3^2+6}{2(3)} = \frac{9+6}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ (или $2,5$)
**Ответ:**
* а) **-10**
* б) **$\frac{5}{2}$** (или $2,5$)
#### 5. Чему равно значение дроби $\frac{(a+b)^2-1}{a^2+1}$ при:
а) $a=-3$, $b=-1$;
б) $a=1\frac{1}{2}$, $b=0,5$?
Снова подставляем значения $a$ и $b$ в дробь.
а) При $a=-3$, $b=-1$:
Сначала найдём $a+b = -3 + (-1) = -4$.
Теперь подставим: $\frac{(-4)^2-1}{(-3)^2+1} = \frac{16-1}{9+1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ (или $1,5$)
б) При $a=1\frac{1}{2}$ (то есть $1,5$), $b=0,5$:
Сначала найдём $a+b = 1,5 + 0,5 = 2$.
Теперь подставим: $\frac{(2)^2-1}{(1,5)^2+1} = \frac{4-1}{2,25+1} = \frac{3}{3,25}$
Чтобы убрать десятичные дроби, умножим числитель и знаменатель на 100: $\frac{3 \cdot 100}{3,25 \cdot 100} = \frac{300}{325}$
Сократим дробь, разделив на 25: $\frac{300 \div 25}{325 \div 25} = \frac{12}{13}$
**Ответ:**
* а) **$\frac{3}{2}$** (или $1,5$)
* б) **$\frac{12}{13}$**
