Вычислить $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$, если $\cos \alpha=-\frac{3}{5}$ и $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$

Привет! Давай разберёмся с этими задачками. Это задания на применение формул синуса суммы и синуса разности углов, а ещё нужно будет вспомнить, как связаны синус и косинус. Главное — быть внимательным со знаками! **1) Вычислить $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$, если $\cos \alpha=-\frac{3}{5}$ и $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$** Сначала найдём $\sin \alpha$. Мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$$ Значит, $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$. Теперь посмотрим на условие $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$. Это значит, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицательный. Поэтому $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$. Теперь используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. В нашем случае $\beta = \frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем все значения: $$\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = \frac{-4\sqrt{3}-3}{10}$$ **Ответ: $\frac{-4\sqrt{3}-3}{10}$** **2) Вычислить $\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$, если $\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$** Сначала найдём $\cos \alpha$. Опять используем формулу $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9-2}{9} = \frac{7}{9}$$ Значит, $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{3}$. Смотрим на условие $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Это значит, что угол $\alpha$ находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицательный. Поэтому $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$. Теперь используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. В нашем случае $\alpha_{формулы} = \frac{\pi}{4}$ и $\beta_{формулы} = \alpha_{задачи}$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем все значения: $$\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) - \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ Ой, извини, я немножко запутался с формулой! Надо правильно подставить: $$\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha$$ $$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$$ $$= -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = \frac{-\sqrt{14}-2}{6}$$ **Ответ: $\frac{-\sqrt{14}-2}{6}$**