Реши неравенства: 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$; 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$; 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$; 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$; 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$; 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. ### 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Это квадратное неравенство. Чтобы его решить, нужно посмотреть на дискриминант и коэффициент при $a^2$. 1. **Найдём дискриминант** ($D$): $D = b^2 - 4ac$ Здесь $a=2$, $b=-8$, $c=16$. $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 64 - 128 = -64$ 2. **Посмотрим на дискриминант и коэффициент при $a^2$**: Мы видим, что $D = -64$, это меньше нуля ($D < 0$). Коэффициент при $a^2$ равен $2$, это больше нуля ($2 > 0$). Когда дискриминант отрицательный, а коэффициент при $a^2$ положительный, это значит, что наша парабола (график функции) полностью находится выше оси $X$. То есть, значение выражения $2a^2 - 8a + 16$ всегда будет больше нуля, при любых значениях $a$. **Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число)** ### 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Это тоже квадратное неравенство. Поступим так же, как в первом примере. 1. **Найдём дискриминант** ($D$): $D = b^2 - 4ac$ Здесь $a=4$, $b=4$, $c=3$. $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$ 2. **Посмотрим на дискриминант и коэффициент при $b^2$**: Мы видим, что $D = -32$, это меньше нуля ($D < 0$). Коэффициент при $b^2$ равен $4$, это больше нуля ($4 > 0$). Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $b^2$ положительный, значение выражения $4b^2 + 4b + 3$ всегда будет больше нуля, при любых значениях $b$. **Ответ: $b \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число)** ### 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ Это неравенство с двумя переменными. Мы можем попробовать выделить полный квадрат. 1. **Преобразуем выражение**: $a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2$ Это можно записать как: $\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + b^2$ $\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2$ 2. **Оценим получившееся выражение**: Мы знаем, что любой квадрат числа (или выражения) всегда больше или равен нулю. То есть, $\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. А значит, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел (или выражений) также всегда будет неотрицательной: $\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$ Таким образом, выражение $a^2 + ab + b^2$ всегда больше или равно нулю для любых действительных значений $a$ и $b$. **Ответ: $a, b \in (-\infty; +\infty)$ (любые действительные числа)** ### 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ Давай раскрывать скобки и упрощать это неравенство шаг за шагом. 1. **Раскроем скобки в левой части**: $(3a + 2)(2a - 4) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot (-4) + 2 \cdot 2a + 2 \cdot (-4) = 6a^2 - 12a + 4a - 8 = 6a^2 - 8a - 8$ $(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$ 2. **Подставим это обратно в левую часть**: $(6a^2 - 8a - 8) - (4a^2 - 20a + 25) = 6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 = 2a^2 + 12a - 33$ 3. **Раскроем скобки в правой части**: $3(4a - 12) = 3 \cdot 4a - 3 \cdot 12 = 12a - 36$ 4. **Соберём всё вместе в неравенство**: $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ 5. **Перенесём все члены в левую часть**: $2a^2 + 12a - 33 - 12a + 36 > 0$ $2a^2 + 3 > 0$ 6. **Решим получившееся неравенство**: $2a^2 + 3 > 0$ Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Тогда $2a^2 \ge 0$. А $2a^2 + 3$ всегда будет больше или равно $3$. Так как $3 > 0$, то $2a^2 + 3$ всегда будет строго больше нуля. **Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число)** ### 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ Давай раскроем скобки и решим это неравенство. 1. **Раскроем скобки**: В левой части: $a(a - 3) = a^2 - 3a$ В правой части: $5(a - 4) = 5a - 20$ 2. **Запишем неравенство**: $a^2 - 3a > 5a - 20$ 3. **Перенесём все члены в левую часть**: $a^2 - 3a - 5a + 20 > 0$ $a^2 - 8a + 20 > 0$ 4. **Решим получившееся квадратное неравенство** (как в пунктах 1 и 2). **Найдём дискриминант** ($D$): $D = b^2 - 4ac$ Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=20$. $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$ 5. **Посмотрим на дискриминант и коэффициент при $a^2$**: Мы видим, что $D = -16$, это меньше нуля ($D < 0$). Коэффициент при $a^2$ равен $1$, это больше нуля ($1 > 0$). Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $a^2$ положительный, значение выражения $a^2 - 8a + 20$ всегда будет больше нуля, при любых значениях $a$. **Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число)** ### 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$ Давай снова раскроем все скобки и упростим неравенство. 1. **Раскроем скобки в левой части**: $(a - b)(a + 5b) = a \cdot a + a \cdot 5b - b \cdot a - b \cdot 5b = a^2 + 5ab - ab - 5b^2 = a^2 + 4ab - 5b^2$ 2. **Раскроем скобки в правой части**: $(2a + b)(a + 4b) = 2a \cdot a + 2a \cdot 4b + b \cdot a + b \cdot 4b = 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 = 2a^2 + 9ab + 4b^2$ 3. **Подставим это обратно в правую часть**: $(2a^2 + 9ab + 4b^2) + ab = 2a^2 + 10ab + 4b^2$ 4. **Соберём всё вместе в неравенство**: $a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$ 5. **Перенесём все члены из левой части в правую** (или наоборот, как удобнее, но сделаем так, чтобы при $a^2$ коэффициент был положительным): $0 \le 2a^2 - a^2 + 10ab - 4ab + 4b^2 + 5b^2$ $0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$ 6. **Упростим правую часть**: $a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$ 7. **Получаем неравенство**: $0 \le (a + 3b)^2$ Мы знаем, что квадрат любого выражения всегда больше или равен нулю. То есть $(a + 3b)^2 \ge 0$ всегда верно для любых $a$ и $b$. **Ответ: $a, b \in (-\infty; +\infty)$ (любые действительные числа)**