Реши неравенство $(x + 2)(x + 3) > 0$

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Тут нужно использовать метод интервалов, чтобы найти, при каких значениях $x$ выражение будет больше или меньше нуля. **а) $(x + 2)(x + 3) > 0$** 1. Сначала найдём точки, в которых каждая скобка равна нулю: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ 2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разобьют прямую на интервалы: $----(-3)----(-2)----> X$ 3. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и подставим в неравенство, чтобы узнать знак: * Если $x < -3$ (например, $x = -4$): $(-4 + 2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Если $-3 < x < -2$ (например, $x = -2.5$): $(-2.5 + 2)(-2.5 + 3) = (-0.5)(0.5) = -0.25 < 0$. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется. * Если $x > -2$ (например, $x = 0$): $(0 + 2)(0 + 3) = (2)(3) = 6 > 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. 4. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (> 0). **Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$** **б) $(x + 3)(x - 0,5) < 0$** 1. Найдём точки, в которых скобки равны нулю: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ $x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5$ 2. Отметим точки на числовой прямой: $----(-3)----(0.5)----> X$ 3. Проверим знаки на интервалах: * Если $x < -3$ (например, $x = -4$): $(-4 + 3)(-4 - 0.5) = (-1)(-4.5) = 4.5 > 0$. * Если $-3 < x < 0.5$ (например, $x = 0$): $(0 + 3)(0 - 0.5) = (3)(-0.5) = -1.5 < 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Если $x > 0.5$ (например, $x = 1$): $(1 + 3)(1 - 0.5) = (4)(0.5) = 2 > 0$. 4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (< 0). **Ответ: $x \in (-3; 0.5)$** **в) $\left(x - \frac{1}{4}\right)(x + 4) > 0$** 1. Найдём точки, где скобки равны нулю: $x - \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$ $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ 2. Отметим эти точки на числовой прямой. Не забудь, $\frac{1}{4}$ — это $0.25$: $----(-4)----(\frac{1}{4})----> X$ 3. Проверим знаки на интервалах: * Если $x < -4$ (например, $x = -5$): $(-5 - \frac{1}{4})(-5 + 4) = (-5.25)(-1) = 5.25 > 0$. * Если $-4 < x < \frac{1}{4}$ (например, $x = 0$): $(0 - \frac{1}{4})(0 + 4) = (-\frac{1}{4})(4) = -1 < 0$. * Если $x > \frac{1}{4}$ (например, $x = 1$): $(1 - \frac{1}{4})(1 + 4) = (\frac{3}{4})(5) = \frac{15}{4} > 0$. 4. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (> 0). **Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$** **г) $\left(x - \frac{4}{9}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) < 0$** 1. Найдём точки, где скобки равны нулю: $x - \frac{4}{9} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{9}$ $x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ 2. Сравним дроби: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Значит, $\frac{1}{3} < \frac{4}{9}$. Отметим точки на числовой прямой: $----(\frac{1}{3})----(\frac{4}{9})----> X$ 3. Проверим знаки на интервалах: * Если $x < \frac{1}{3}$ (например, $x = 0$): $(0 - \frac{4}{9})(0 - \frac{1}{3}) = (-\frac{4}{9})(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} > 0$. * Если $\frac{1}{3} < x < \frac{4}{9}$ (например, $x = 0.4$ или $x = \frac{7}{18}$): Возьмём $x = 0.4$. Тогда $x - \frac{4}{9} = 0.4 - \frac{4}{9} = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} = \frac{18-20}{45} = -\frac{2}{45}$. $x - \frac{1}{3} = 0.4 - \frac{1}{3} = \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6-5}{15} = \frac{1}{15}$. Произведение: $(-\frac{2}{45})(\frac{1}{15}) = -\frac{2}{675} < 0$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. * Если $x > \frac{4}{9}$ (например, $x = 1$): $(1 - \frac{4}{9})(1 - \frac{1}{3}) = (\frac{5}{9})(\frac{2}{3}) = \frac{10}{27} > 0$. 4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (< 0). **Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{4}{9})$**