Решите систему уравнений способом подстановки для первого задания из списка под номером 1.

Привет! Давай разберемся с этими системами уравнений. Чтобы решить систему способом подстановки, нужно выразить одну переменную через другую в одном уравнении и подставить это выражение во второе уравнение. ### Задание 2. Решите систему уравнений способом подстановки: 1) $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases} $$ Смотри, из первого уравнения $x + y = 5$ мы можем выразить $y$: $y = 5 - x$. Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $3x + (5 - x) = 7$ $3x + 5 - x = 7$ $2x + 5 = 7$ $2x = 7 - 5$ $2x = 2$ $x = 1$ Теперь, когда мы знаем $x = 1$, найдем $y$, подставив $x$ в выражение $y = 5 - x$: $y = 5 - 1$ $y = 4$ **Ответ: $x = 1, y = 4$** 2) $$ \begin{cases} x - y = 0 \\ x - 3y = 6 \end{cases} $$ Из первого уравнения $x - y = 0$ легко выразить $x$: $x = y$. Подставим $x = y$ во второе уравнение: $y - 3y = 6$ $-2y = 6$ $y = \frac{6}{-2}$ $y = -3$ Теперь найдем $x$, зная, что $x = y$: $x = -3$ **Ответ: $x = -3, y = -3$** 3) $$ \begin{cases} y - x = -3 \\ 2x + y = 9 \end{cases} $$ Из первого уравнения $y - x = -3$ выразим $y$: $y = x - 3$. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $2x + (x - 3) = 9$ $2x + x - 3 = 9$ $3x - 3 = 9$ $3x = 9 + 3$ $3x = 12$ $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$ Теперь найдем $y$, подставив $x = 4$ в $y = x - 3$: $y = 4 - 3$ $y = 1$ **Ответ: $x = 4, y = 1$** 4) $$ \begin{cases} -2x + y = 3 \\ 3x - y = -1 \end{cases} $$ Из первого уравнения $-2x + y = 3$ выразим $y$: $y = 3 + 2x$. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $3x - (3 + 2x) = -1$ $3x - 3 - 2x = -1$ $x - 3 = -1$ $x = -1 + 3$ $x = 2$ Теперь найдем $y$, подставив $x = 2$ в $y = 3 + 2x$: $y = 3 + 2 \cdot 2$ $y = 3 + 4$ $y = 7$ **Ответ: $x = 2, y = 7$** 5) $$ \begin{cases} 3m - 2n = 5 \\ m + 2n = 15 \end{cases} $$ Из второго уравнения $m + 2n = 15$ выразим $m$: $m = 15 - 2n$. Подставим это выражение для $m$ в первое уравнение: $3(15 - 2n) - 2n = 5$ $45 - 6n - 2n = 5$ $45 - 8n = 5$ $-8n = 5 - 45$ $-8n = -40$ $n = \frac{-40}{-8}$ $n = 5$ Теперь найдем $m$, подставив $n = 5$ в $m = 15 - 2n$: $m = 15 - 2 \cdot 5$ $m = 15 - 10$ $m = 5$ **Ответ: $m = 5, n = 5$** 6) $$ \begin{cases} a + 3b = 2 \\ 2a + 3b = 7 \end{cases} $$ Из первого уравнения $a + 3b = 2$ выразим $a$: $a = 2 - 3b$. Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение: $2(2 - 3b) + 3b = 7$ $4 - 6b + 3b = 7$ $4 - 3b = 7$ $-3b = 7 - 4$ $-3b = 3$ $b = \frac{3}{-3}$ $b = -1$ Теперь найдем $a$, подставив $b = -1$ в $a = 2 - 3b$: $a = 2 - 3 \cdot (-1)$ $a = 2 + 3$ $a = 5$ **Ответ: $a = 5, b = -1$** 7) $$ \begin{cases} 3k - 5p = 14 \\ k + 2p = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения $k + 2p = 1$ выразим $k$: $k = 1 - 2p$. Подставим это выражение для $k$ в первое уравнение: $3(1 - 2p) - 5p = 14$ $3 - 6p - 5p = 14$ $3 - 11p = 14$ $-11p = 14 - 3$ $-11p = 11$ $p = \frac{11}{-11}$ $p = -1$ Теперь найдем $k$, подставив $p = -1$ в $k = 1 - 2p$: $k = 1 - 2 \cdot (-1)$ $k = 1 + 2$ $k = 3$ **Ответ: $k = 3, p = -1$** 8) $$ \begin{cases} 2c - d = 2 \\ 3c - 2d = 3 \end{cases} $$ Из первого уравнения $2c - d = 2$ выразим $d$: $d = 2c - 2$. Подставим это выражение для $d$ во второе уравнение: $3c - 2(2c - 2) = 3$ $3c - 4c + 4 = 3$ $-c + 4 = 3$ $-c = 3 - 4$ $-c = -1$ $c = 1$ Теперь найдем $d$, подставив $c = 1$ в $d = 2c - 2$: $d = 2 \cdot 1 - 2$ $d = 2 - 2$ $d = 0$ **Ответ: $c = 1, d = 0$** 9) $$ \begin{cases} \frac{1}{5}(x + y) = 2 \\ \frac{1}{2}(x - y) = 1 \end{cases} $$ Сначала упростим оба уравнения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 2: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Теперь из первого уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $x - (10 - x) = 2$ $x - 10 + x = 2$ $2x - 10 = 2$ $2x = 2 + 10$ $2x = 12$ $x = \frac{12}{2}$ $x = 6$ Теперь найдем $y$, подставив $x = 6$ в $y = 10 - x$: $y = 10 - 6$ $y = 4$ **Ответ: $x = 6, y = 4$** 10) $$ \begin{cases} 0.3(x + y) = 22.2 \\ 0.4(x - y) = 6.4 \end{cases} $$ Упростим уравнения. Разделим первое уравнение на 0.3, а второе на 0.4: $$ \begin{cases} x + y = \frac{22.2}{0.3} \\ x - y = \frac{6.4}{0.4} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x + y = 74 \\ x - y = 16 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $x = 16 + y$. Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение: $(16 + y) + y = 74$ $16 + 2y = 74$ $2y = 74 - 16$ $2y = 58$ $y = \frac{58}{2}$ $y = 29$ Теперь найдем $x$, подставив $y = 29$ в $x = 16 + y$: $x = 16 + 29$ $x = 45$ **Ответ: $x = 45, y = 29$** 11) $$ \begin{cases} x + y = 1 - z \\ x - y = 3 \\ z = 2x \end{cases} $$ Это система из трех уравнений с тремя неизвестными $x, y, z$. Но способ подстановки тут тоже работает! У нас уже есть $z = 2x$. Подставим это в первое уравнение: $x + y = 1 - (2x)$ $x + y = 1 - 2x$ Теперь перенесем $2x$ влево: $x + 2x + y = 1$ $3x + y = 1$ Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Из второго уравнения $x - y = 3$ выразим $x$: $x = 3 + y$. Подставим это выражение для $x$ в уравнение $3x + y = 1$: $3(3 + y) + y = 1$ $9 + 3y + y = 1$ $9 + 4y = 1$ $4y = 1 - 9$ $4y = -8$ $y = \frac{-8}{4}$ $y = -2$ Теперь найдем $x$, подставив $y = -2$ в $x = 3 + y$: $x = 3 + (-2)$ $x = 1$ И наконец, найдем $z$, используя $z = 2x$: $z = 2 \cdot 1$ $z = 2$ **Ответ: $x = 1, y = -2, z = 2$** 12) $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 6 \end{cases} $$ Это тоже система с тремя переменными. Давай попробуем выразить одну переменную и подставить её. Из первого уравнения $x + y = 2$ выразим $y$: $y = 2 - x$. Из второго уравнения $y + z = 4$ выразим $z$: $z = 4 - y$. И подставим сюда $y = 2 - x$: $z = 4 - (2 - x) = 4 - 2 + x = 2 + x$. Теперь у нас есть $y = 2 - x$ и $z = 2 + x$. Подставим эти выражения в третье уравнение $z + x = 6$: $(2 + x) + x = 6$ $2 + 2x = 6$ $2x = 6 - 2$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$ Теперь найдем $y$ и $z$: $y = 2 - x = 2 - 2 = 0$ $z = 2 + x = 2 + 2 = 4$ **Ответ: $x = 2, y = 0, z = 4$**