Выполни умножение 1.5x * 8x

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Это довольно просто, главное — запомнить несколько правил. ### 1. Выполните умножение: Чтобы умножить одночлены, нужно перемножить их числовые коэффициенты и умножить степени с одинаковыми основаниями. Помни, что при умножении степеней показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). 1) $1.5x \cdot 8x$ Сначала умножим числа: $1.5 \cdot 8 = 12$. Затем умножим буквы: $x \cdot x = x^{1+1} = x^2$. **Ответ: $12x^2$** 2) $-a^2 \cdot 4a^3$ Здесь перед $a^2$ как будто стоит $-1$. Умножаем числа: $-1 \cdot 4 = -4$. Умножаем буквы: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$. **Ответ: $-4a^5$** 3) $6y \cdot \left(-\frac{1}{3}y^2\right)$ Умножаем числа: $6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{6}{3} = -2$. Умножаем буквы: $y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$. **Ответ: $-2y^3$** 4) $\frac{2}{3}a \cdot 12ab^2$ Умножаем числа: $\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$. Умножаем буквы: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$. $b^2$ остаётся без изменений. **Ответ: $8a^2b^2$** 5) $0.5x^2y \cdot (-xy)$ Умножаем числа: $0.5 \cdot (-1) = -0.5$. Умножаем буквы: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$, $y \cdot y = y^{1+1} = y^2$. **Ответ: $-0.5x^3y^2$** 6) $-0.4x^4y^2 \cdot 2.5x^2y^4$ Умножаем числа: $-0.4 \cdot 2.5 = -1$. Умножаем буквы: $x^4 \cdot x^2 = x^{4+2} = x^6$, $y^2 \cdot y^4 = y^{2+4} = y^6$. **Ответ: $-x^6y^6$** ### 2. Выполните возведение одночлена в степень: Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена. Помни, что при возведении степени в степень показатели умножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$). 1) $(8x)^2$ Возводим $8$ в степень $2$: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$. Возводим $x$ в степень $2$: $x^2$. **Ответ: $64x^2$** 2) $\left(\frac{1}{3}a^2\right)^3$ Возводим $\frac{1}{3}$ в степень $3$: $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$. Возводим $a^2$ в степень $3$: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. **Ответ: $\frac{1}{27}a^6$** 3) $(0.2y^3)^4$ Возводим $0.2$ в степень $4$: $0.2^4 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.0016$. Возводим $y^3$ в степень $4$: $(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$. **Ответ: $0.0016y^{12}$** 4) $(4xy)^3$ Возводим $4$ в степень $3$: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Возводим $x$ в степень $3$: $x^3$. Возводим $y$ в степень $3$: $y^3$. **Ответ: $64x^3y^3$** 5) $(8a^2b)^2$ Возводим $8$ в степень $2$: $8^2 = 64$. Возводим $a^2$ в степень $2$: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$. Возводим $b$ в степень $2$: $b^2$. **Ответ: $64a^4b^2$** 6) $(2a^2c^3)^3$ Возводим $2$ в степень $3$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Возводим $a^2$ в степень $3$: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. Возводим $c^3$ в степень $3$: $(c^3)^3 = c^{3 \cdot 3} = c^9$. **Ответ: $8a^6c^9$** 7) $\left(-\frac{1}{2}ab\right)^2$ Возводим $-\frac{1}{2}$ в степень $2$: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$. Возводим $a$ в степень $2$: $a^2$. Возводим $b$ в степень $2$: $b^2$. **Ответ: $\frac{1}{4}a^2b^2$** 8) $(-10a^3b^2)^2$ Возводим $-10$ в степень $2$: $(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$. Возводим $a^3$ в степень $2$: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$. Возводим $b^2$ в степень $2$: $(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$. **Ответ: $100a^6b^4$** 9) $(-xy^2z^3)^5$ Здесь перед $x$ как будто стоит $-1$. Возводим $-1$ в степень $5$: $(-1)^5 = -1$. Возводим $x$ в степень $5$: $x^5$. Возводим $y^2$ в степень $5$: $(y^2)^5 = y^{2 \cdot 5} = y^{10}$. Возводим $z^3$ в степень $5$: $(z^3)^5 = z^{3 \cdot 5} = z^{15}$. **Ответ: $-x^5y^{10}z^{15}$** 10) $-(2ax^2)^3$ Сначала возводим $(2ax^2)$ в степень $3$: $2^3 = 8$, $a^3$, $(x^2)^3 = x^6$. Получаем $8a^3x^6$. Затем ставим минус перед всем выражением. **Ответ: $-8a^3x^6$** 11) $-(-4x^2c)^3$ Сначала возводим $(-4x^2c)$ в степень $3$: $(-4)^3 = -64$, $(x^2)^3 = x^6$, $c^3$. Получаем $-64x^6c^3$. Теперь перед этим выражением стоит ещё один минус: $-(-64x^6c^3) = 64x^6c^3$. **Ответ: $64x^6c^3$** 12) $-(-a^2b^3c^4)^4$ Сначала возводим $(-a^2b^3c^4)$ в степень $4$: $(-1)^4 = 1$, $(a^2)^4 = a^8$, $(b^3)^4 = b^{12}$, $(c^4)^4 = c^{16}$. Получаем $a^8b^{12}c^{16}$. Затем ставим минус перед всем выражением. **Ответ: $-a^8b^{12}c^{16}$** ### 3. Упростите выражение: Здесь нужно использовать правила умножения и возведения в степень, которые мы уже повторили. 1) $20a^2 \cdot (5a)^2$ Сначала возведём $(5a)^2$ в степень: $(5a)^2 = 5^2a^2 = 25a^2$. Теперь умножаем: $20a^2 \cdot 25a^2 = (20 \cdot 25) \cdot (a^2 \cdot a^2) = 500a^{2+2} = 500a^4$. **Ответ: $500a^4$** 2) $-0.4x^5 \cdot (2x^2)^4$ Сначала возведём $(2x^2)^4$ в степень: $(2x^2)^4 = 2^4(x^2)^4 = 16x^{2 \cdot 4} = 16x^8$. Теперь умножаем: $-0.4x^5 \cdot 16x^8 = (-0.4 \cdot 16) \cdot (x^5 \cdot x^8) = -6.4x^{5+8} = -6.4x^{13}$. **Ответ: $-6.4x^{13}$** 3) $(-c^2)^3 \cdot 12c^5$ Сначала возведём $(-c^2)^3$ в степень: $(-1)^3(c^2)^3 = -1 \cdot c^{2 \cdot 3} = -c^6$. Теперь умножаем: $-c^6 \cdot 12c^5 = (-1 \cdot 12) \cdot (c^6 \cdot c^5) = -12c^{6+5} = -12c^{11}$. **Ответ: $-12c^{11}$** 4) $(3x^6y^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}xy^2\right)^2$ Разделим на две части: Первая часть: $(3x^6y^3)^4 = 3^4 (x^6)^4 (y^3)^4 = 81x^{24}y^{12}$. Вторая часть: $\left(-\frac{1}{81}xy^2\right)^2 = \left(-\frac{1}{81}\right)^2 x^2 (y^2)^2 = \frac{1}{6561}x^2y^4$. Теперь умножаем результаты: $81x^{24}y^{12} \cdot \frac{1}{6561}x^2y^4 = \frac{81}{6561} x^{24+2} y^{12+4} = \frac{1}{81}x^{26}y^{16}$. **Ответ: $\frac{1}{81}x^{26}y^{16}$** 5) $\left(-\frac{2}{3}ab^3\right)^3 \cdot 18a^2b$ Разделим на две части: Первая часть: $\left(-\frac{2}{3}ab^3\right)^3 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 a^3 (b^3)^3 = -\frac{8}{27}a^3b^9$. Теперь умножаем результаты: $-\frac{8}{27}a^3b^9 \cdot 18a^2b = \left(-\frac{8}{27} \cdot 18\right) (a^3 \cdot a^2) (b^9 \cdot b) = \left(-\frac{8 \cdot 18}{27}\right) a^{3+2} b^{9+1} = \left(-\frac{8 \cdot 2 \cdot 9}{3 \cdot 9}\right) a^5 b^{10} = \left(-\frac{16}{3}\right) a^5 b^{10}$. **Ответ: $-\frac{16}{3}a^5b^{10}$** ### 4. Представьте в виде одночлена стандартного вида: Это значит, что нужно перемножить все части выражения и записать его так, чтобы сначала шёл числовой коэффициент, а потом буквы в алфавитном порядке с их степенями. Каждая буква должна встречаться только один раз. 1) $(4ac^2)^3 \cdot (0.5a^2c)^2$ Первая часть: $(4ac^2)^3 = 4^3 a^3 (c^2)^3 = 64a^3c^6$. Вторая часть: $(0.5a^2c)^2 = (0.5)^2 (a^2)^2 c^2 = 0.25a^4c^2$. Умножаем результаты: $64a^3c^6 \cdot 0.25a^4c^2 = (64 \cdot 0.25) (a^3 \cdot a^4) (c^6 \cdot c^2) = 16a^{3+4}c^{6+2} = 16a^7c^8$. **Ответ: $16a^7c^8$** 2) $\left(\frac{2}{3}x^2y^3\right)^3$ Возводим в степень: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 (x^2)^3 (y^3)^3 = \frac{8}{27} x^6 y^9$. **Ответ: $\frac{8}{27}x^6y^9$** 3) $-(-x^2y^4)^4 \cdot (6x^4y)^2$ Первая часть (сначала $(-x^2y^4)^4$): $(-1)^4 (x^2)^4 (y^4)^4 = 1x^8y^{16} = x^8y^{16}$. Теперь с минусом перед скобкой: $-x^8y^{16}$. Вторая часть: $(6x^4y)^2 = 6^2 (x^4)^2 y^2 = 36x^8y^2$. Умножаем результаты: $-x^8y^{16} \cdot 36x^8y^2 = -36 (x^8 \cdot x^8) (y^{16} \cdot y^2) = -36x^{8+8}y^{16+2} = -36x^{16}y^{18}$. **Ответ: $-36x^{16}y^{18}$** 4) $(-10a^3b^2)^2 \cdot (-0.2ab^2)^3$ Первая часть: $(-10a^3b^2)^2 = (-10)^2 (a^3)^2 (b^2)^2 = 100a^6b^4$. Вторая часть: $(-0.2ab^2)^3 = (-0.2)^3 a^3 (b^2)^3 = -0.008a^3b^6$. Умножаем результаты: $100a^6b^4 \cdot (-0.008a^3b^6) = (100 \cdot (-0.008)) (a^6 \cdot a^3) (b^4 \cdot b^6) = -0.8a^{6+3}b^{4+6} = -0.8a^9b^{10}$. **Ответ: $-0.8a^9b^{10}$** ### 5. Приведите многочлен к стандартному виду: Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно сделать две вещи: 1. Умножить все одночлены, чтобы они были в стандартном виде (как в задании 4). 2. Привести подобные слагаемые (сложить или вычесть те, у которых одинаковая буквенная часть). 1) $x^2y + y \cdot x \cdot y$ Сначала упростим второе слагаемое: $y \cdot x \cdot y = xy^2$. Многочлен становится: $x^2y + xy^2$. Эти слагаемые неподобные, так как у них разные буквенные части ($x^2y$ и $xy^2$). **Ответ: $x^2y + xy^2$** 2) $3x \cdot 6y^2 - 5x^2 \cdot 7y$ Первое слагаемое: $3x \cdot 6y^2 = 18xy^2$. Второе слагаемое: $-5x^2 \cdot 7y = -35x^2y$. Многочлен становится: $18xy^2 - 35x^2y$. Эти слагаемые неподобные. **Ответ: $18xy^2 - 35x^2y$** 3) $2a \cdot a^2 \cdot 3b + a \cdot 8c$ Первое слагаемое: $2a \cdot a^2 \cdot 3b = (2 \cdot 3) (a \cdot a^2) b = 6a^3b$. Второе слагаемое: $a \cdot 8c = 8ac$. Многочлен становится: $6a^3b + 8ac$. Эти слагаемые неподобные. **Ответ: $6a^3b + 8ac$** 4) $8x \cdot 3y \cdot (-5y) - 7x^2 \cdot (-4y)$ Первое слагаемое: $8x \cdot 3y \cdot (-5y) = (8 \cdot 3 \cdot (-5)) (x \cdot y \cdot y) = -120xy^2$. Второе слагаемое: $-7x^2 \cdot (-4y) = (-7 \cdot (-4)) (x^2 \cdot y) = 28x^2y$. Многочлен становится: $-120xy^2 + 28x^2y$. Эти слагаемые неподобные. **Ответ: $-120xy^2 + 28x^2y$** 5) $11a^3 - 8a^3 + 3a^3 + a^3$ Здесь все слагаемые подобные, потому что у всех буквенная часть $a^3$. Просто складываем коэффициенты: $11 - 8 + 3 + 1 = 3 + 3 + 1 = 7$. **Ответ: $7a^3$** 6) $1.9x^3 - 2.9x^3 - x^3$ Все слагаемые подобные (буквенная часть $x^3$). Складываем коэффициенты: $1.9 - 2.9 - 1 = -1 - 1 = -2$. **Ответ: $-2x^3$** 7) $20xy + 5yx - 17xy$ Помни, что $yx$ это то же самое, что и $xy$. Так что все слагаемые подобные. Складываем коэффициенты: $20 + 5 - 17 = 25 - 17 = 8$. **Ответ: $8xy$** 8) $8ab^2 - 3ab^2 + ab^2 - 7ab^2$ Все слагаемые подобные (буквенная часть $ab^2$). Складываем коэффициенты: $8 - 3 + 1 - 7 = 5 + 1 - 7 = 6 - 7 = -1$. **Ответ: $-ab^2$**