Докажи формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости

Привет! Давай разберём доказательство формулы расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Это очень интересная и полезная задача, которая часто встречается в геометрии. **Доказательство** Представь, что у нас есть две точки на координатной плоскости. Пусть первая точка будет $A$ с координатами $(x_1; y_1)$, а вторая точка $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Нам нужно найти расстояние между этими двумя точками, то есть длину отрезка $AB$. **Шаг 1: Построение вспомогательных линий** Чтобы найти это расстояние, мы сделаем небольшое построение. 1. Сначала мы соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Это и есть то расстояние, которое мы ищем. 2. Затем мы проведём несколько прямых, которые помогут нам создать вспомогательную фигуру: * Прямая $x = x_1$ – это вертикальная прямая, проходящая через точку $A$. * Прямая $x = x_2$ – это вертикальная прямая, проходящая через точку $B$. * Прямая $y = y_1$ – это горизонтальная прямая, проходящая через точку $A$. * Прямая $y = y_2$ – это горизонтальная прямая, проходящая через точку $B$. **Шаг 2: Образование прямоугольного треугольника** Когда мы начертим эти прямые, мы увидим, что они вместе с отрезком $AB$ образуют прямоугольный треугольник. Давай назовем его $ABC$. Точка $C$ в этом треугольнике будет пересечением прямой $x = x_2$ и прямой $y = y_1$. Таким образом, точка $C$ будет иметь координаты $(x_2; y_1)$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, потому что прямая $x = x_2$ (вертикальная) и прямая $y = y_1$ (горизонтальная) всегда пересекаются под прямым углом. **Шаг 3: Определение длин катетов** Теперь нам нужно найти длины катетов этого прямоугольного треугольника – $AC$ и $BC$. * **Длина катета $AC$**: Этот катет расположен горизонтально. Его длина – это расстояние между координатой $x_1$ и координатой $x_2$ по оси $X$. Чтобы найти расстояние между двумя точками на числовой оси, мы используем модуль разности их координат. Итак, длина катета $AC$ равна: $$AC = |x_2 - x_1|$$ Мы используем модуль, потому что длина всегда должна быть положительным числом, независимо от того, какая из координат $x_1$ или $x_2$ больше. * **Длина катета $BC$**: Этот катет расположен вертикально. Его длина – это расстояние между координатой $y_1$ и координатой $y_2$ по оси $Y$. Аналогично, мы используем модуль разности их координат. Итак, длина катета $BC$ равна: $$BC = |y_2 - y_1|$$ **Шаг 4: Применение теоремы Пифагора** Теперь, когда мы знаем длины катетов $AC$ и $BC$, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы $AB$. Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, $AB$ – это гипотенуза, а $AC$ и $BC$ – катеты. Значит, по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ Теперь подставим выражения для $AC$ и $BC$, которые мы нашли на предыдущем шаге, в эту формулу: $$AB^2 = |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2$$ Эта формула показывает, что квадрат расстояния между двумя точками на координатной плоскости равен сумме квадратов разностей их соответствующих координат. Это и есть то, что требовалось доказать!