Упрости выражение $\frac{a + \sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}$ при $a < 0$ и $b < 0$.

Привет! Давай упростим это выражение. У нас есть дробь: $$\frac{a + \sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}$$ И нам дано, что $a < 0$ и $b < 0$. Это значит, что оба числа $a$ и $b$ отрицательные. Когда мы умножаем два отрицательных числа, результат будет положительным. То есть $ab > 0$. А значит, $\sqrt{ab}$ — это действительное число, и оно тоже будет положительным. Например, если $a = -4$ и $b = -9$, то $ab = 36$, а $\sqrt{ab} = \sqrt{36} = 6$. Теперь давай вынесем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе: $a + \sqrt{ab}$. Можно представить $a$ как $-(-a)$ или как $- \sqrt{a^2}$. Но так как $a < 0$, то $a = -\sqrt{a^2}$. Давай сделаем так: $a = -\sqrt{(-a)^2}$ и $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$. Тогда числитель $a + \sqrt{ab} = -\sqrt{(-a)^2} + \sqrt{(-a)(-b)} = -\sqrt{-a}\sqrt{-a} + \sqrt{-a}\sqrt{-b}$. Выносим $\sqrt{-a}$ за скобки: $\sqrt{-a} (-\sqrt{-a} + \sqrt{-b})$. В знаменателе: $b + \sqrt{ab}$. Аналогично $b = -\sqrt{(-b)^2}$. Тогда знаменатель $b + \sqrt{ab} = -\sqrt{(-b)^2} + \sqrt{(-a)(-b)} = -\sqrt{-b}\sqrt{-b} + \sqrt{-a}\sqrt{-b}$. Выносим $\sqrt{-b}$ за скобки: $\sqrt{-b} (-\sqrt{-b} + \sqrt{-a})$. Теперь подставляем это обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{-a} (-\sqrt{-a} + \sqrt{-b})}{\sqrt{-b} (-\sqrt{-b} + \sqrt{-a})} $$ Обрати внимание, что в скобках числителя и знаменателя выражения почти одинаковые: $(-\sqrt{-a} + \sqrt{-b})$ и $(-\sqrt{-b} + \sqrt{-a})$. Они одинаковые, просто слагаемые поменяны местами! Значит, мы можем их сократить! Остается: $$\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$$ Это можно записать как $\sqrt{\frac{-a}{-b}}$, что равно $\sqrt{\frac{a}{b}}$. **Ответ:** $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$