Найди значение выражения $\sqrt{(-a)^7 \cdot (-a)^5}$ при $a=10$

Привет! Давай разберем эти интересные задания по алгебре. ### Задание 582 Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{(-a)^7 \cdot (-a)^5}$ при $a=10$. Шаг 1: Упростим выражение под корнем. Внутри корня у нас есть произведение двух степеней с одинаковым основанием $(-a)$. Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели степеней складываются. $$(-a)^7 \cdot (-a)^5 = (-a)^{7+5} = (-a)^{12}$$ Шаг 2: Теперь упростим корень из полученного выражения. У нас получилось $\sqrt{(-a)^{12}}$. Мы знаем, что если число возводится в четную степень, то результат всегда будет положительным. То есть $(-a)^{12} = a^{12}$. Значит, выражение под корнем становится $a^{12}$. Теперь извлечем квадратный корень: $$\sqrt{a^{12}}$$ Корень из степени $a^n$ — это $a^{n/2}$. Значит, $\sqrt{a^{12}} = a^{12/2} = a^6$. Важно помнить, что $\sqrt{x^2} = |x|$, но поскольку $a^6$ всегда будет положительным (любое число в четной степени положительно), мы можем просто записать $a^6$. Шаг 3: Подставим значение $a=10$ в упрощенное выражение. $$a^6 = 10^6$$ $$10^6 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000\,000$$ **Ответ: 1000000** ### Задание 583 Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{100a^{21}}{a^{19}}}$ при $a=8$. Шаг 1: Упростим выражение под корнем. Внутри корня у нас есть дробь. В числителе и знаменателе есть степени $a^{21}$ и $a^{19}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются. $$\frac{a^{21}}{a^{19}} = a^{21-19} = a^2$$ Теперь подставим это обратно в выражение под корнем: $$\sqrt{100 \cdot a^2}$$ Шаг 2: Теперь упростим корень из полученного выражения. У нас получилось $\sqrt{100a^2}$. Мы можем записать это как произведение корней: $$\sqrt{100a^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a^2}$$ Извлечем корни: $$\sqrt{100} = 10$$ $$\sqrt{a^2} = |a|$$ Итак, упрощенное выражение будет $10|a|$. Шаг 3: Подставим значение $a=8$ в упрощенное выражение. $$10|a| = 10 \cdot |8|$$ Модуль числа 8 равен 8. $$10 \cdot 8 = 80$$ **Ответ: 80**