Реши неравенство: $$\frac{\log_3(81x)}{\log_3 x - 4} + \frac{\log_3 x - 4}{\log_3(81x)} \ge \frac{24 - \log_3 x^8}{\log_3^2 x - 16}$$

Привет! Давай вместе разберём это неравенство. Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для нашего неравенства. У нас есть логарифмы, поэтому аргументы логарифма должны быть больше нуля, а основание логарифма не должно быть равно 1. Ещё у нас есть дроби, а это значит, что знаменатель не может быть равен нулю. 1. Аргументы логарифмов должны быть положительными: * $x > 0$ * $81x > 0 \Rightarrow x > 0$ 2. Основание логарифма равно 3, что больше нуля и не равно 1, это подходит. 3. Знаменатели не должны быть равны нулю: * $\log_3 x - 4 \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq 4 \Rightarrow x \neq 3^4 \Rightarrow x \neq 81$ * $\log_3(81x) \neq 0 \Rightarrow \log_3 81 + \log_3 x \neq 0 \Rightarrow 4 + \log_3 x \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq -4 \Rightarrow x \neq 3^{-4} \Rightarrow x \neq \frac{1}{81}$ * $\log_3^2 x - 16 \neq 0 \Rightarrow (\log_3 x - 4)(\log_3 x + 4) \neq 0$. Это те же самые условия, что мы уже нашли: $x \neq 81$ и $x \neq \frac{1}{81}$. Итак, наша ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 81$, $x \neq \frac{1}{81}$. Теперь упростим выражение. Заметим, что $\log_3(81x) = \log_3 81 + \log_3 x = 4 + \log_3 x$. И ещё $\log_3 x^8 = 8\log_3 x$. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{4 + t}{t - 4} + \frac{t - 4}{4 + t} \ge \frac{24 - 8t}{t^2 - 16}$$ Обрати внимание, что $t^2 - 16 = (t - 4)(t + 4)$. Теперь наше неравенство такое: $$\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \ge \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2}{(t - 4)(t + 4)} \ge \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16}{(t - 4)(t + 4)} \ge \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{2t^2 + 32}{(t - 4)(t + 4)} \ge \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ Перенесём всё в одну сторону: $$\frac{2t^2 + 32 - (24 - 8t)}{(t - 4)(t + 4)} \ge 0$$ $$\frac{2t^2 + 32 - 24 + 8t}{(t - 4)(t + 4)} \ge 0$$ $$\frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \ge 0$$ Вынесем 2 из числителя: $$\frac{2(t^2 + 4t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} \ge 0$$ Заметим, что $t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2$. Так что неравенство выглядит так: $$\frac{2(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \ge 0$$ Теперь проанализируем это неравенство: * Числитель $2(t + 2)^2$ всегда больше или равен 0 (потому что квадрат числа не может быть отрицательным). Он равен 0, когда $t + 2 = 0$, то есть $t = -2$. * Знаменатель $(t - 4)(t + 4)$ не должен быть равен 0, то есть $t \neq 4$ и $t \neq -4$. Так как числитель всегда неотрицательный, то знак дроби зависит от знака знаменателя. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть положительным. Ноль в числителе допускается. Разберёмся со знаменателем. Он равен нулю при $t = 4$ и $t = -4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: ``` ---(-4)---(4)---> t ``` Проверим знаки на интервалах: * Если $t < -4$ (например, $t = -5$): $(-5-4)(-5+4) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Знаменатель положительный. * Если $-4 < t < 4$ (например, $t = 0$): $(0-4)(0+4) = (-4)(4) = -16 < 0$. Знаменатель отрицательный. * Если $t > 4$ (например, $t = 5$): $(5-4)(5+4) = (1)(9) = 9 > 0$. Знаменатель положительный. Итак, знаменатель положительный, когда $t < -4$ или $t > 4$. Также не забываем, что числитель может быть равен нулю, то есть $t = -2$. Эта точка находится между $-4$ и $4$, где знаменатель отрицательный. Поэтому, если $t=-2$, то дробь будет равна $0$, что удовлетворяет неравенству $\ge 0$. Следовательно, решения для $t$ это $t < -4$, $t = -2$, или $t > 4$. Теперь вернёмся к $x$. Вспомним, что $t = \log_3 x$. 1. $t < -4 \Rightarrow \log_3 x < -4 \Rightarrow x < 3^{-4} \Rightarrow x < \frac{1}{81}$ 2. $t = -2 \Rightarrow \log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$ 3. $t > 4 \Rightarrow \log_3 x > 4 \Rightarrow x > 3^4 \Rightarrow x > 81$ Теперь объединим эти решения с ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 81$, $x \neq \frac{1}{81}$. * Для $x < \frac{1}{81}$: с учётом ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq \frac{1}{81}$), получаем $0 < x < \frac{1}{81}$. * Для $x = \frac{1}{9}$: это значение находится в интервале $0 < x < \frac{1}{81}$ (потому что $\frac{1}{9} = \frac{9}{81}$, а это больше чем $\frac{1}{81}$, но меньше чем 1). Ах, нет, $\frac{1}{9}$ это $0.111...$, а $\frac{1}{81}$ это примерно $0.012$. Значит $\frac{1}{9}$ находится *не* в интервале $0 < x < \frac{1}{81}$, а между $\frac{1}{81}$ и $81$. Но оно удовлетворяет ОДЗ. Точка $x=\frac{1}{9}$ является отдельным решением. * Для $x > 81$: с учётом ОДЗ ($x \neq 81$), получаем $x > 81$. Итак, окончательные решения для $x$ это: $0 < x < \frac{1}{81}$, $x = \frac{1}{9}$, или $x > 81$. Запишем это в виде интервалов и отдельных точек. **Ответ:** $x \in \left(0; \frac{1}{81}\right) \cup \left\{\frac{1}{9}\right\} \cup (81; +\infty)$