Найди наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 6x + 12)$ на отрезке [-19; -1].

Привет! Чтобы найти наибольшее значение функции, давай разберёмся, как она себя ведёт. Наша функция — это логарифм с основанием $\frac{1}{3}$. Когда основание логарифма меньше 1 (как у нас, ведь $\frac{1}{3} \approx 0.33$), функция логарифма убывает. Это значит, чем больше число внутри логарифма, тем меньше будет значение самой функции. А чтобы найти наибольшее значение функции, нам нужно, чтобы выражение внутри логарифма было наименьшим. Давай посмотрим на выражение внутри логарифма: $$(x^2 + 6x + 12)$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх, потому что коэффициент перед $x^2$ равен 1 (он положительный). Значит, у этой параболы есть самая нижняя точка — вершина. Координату $x$ вершины параболы можно найти по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$ В нашем случае $a=1$ и $b=6$, так что: $$x_в = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3$$ Теперь давай проверим, попадает ли эта вершина в наш отрезок $[-19; -1]$. Да, $-3$ находится между $-19$ и $-1$, так что эта точка нам подходит. Теперь найдём значение выражения $(x^2 + 6x + 12)$ в этой точке $x = -3$: $$y_{внутри} = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3$$ Это наименьшее значение, которое может принять выражение внутри логарифма. Поскольку функция логарифма убывает, наибольшее значение всей функции будет, когда внутри логарифма стоит это наименьшее число: $$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(3)$$ Чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{3}}(3)$, нам нужно понять, в какую степень нужно возвести $\frac{1}{3}$, чтобы получить $3$. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Значит, $$(3^{-1})^? = 3$$ Это возможно, только если $? = -1$. Получается, что $\log_{\frac{1}{3}}(3) = -1$. **Ответ: -1**