Найти высоту конуса, если металлический шар радиуса $$\sqrt[3]{2}$$ перелит в конус, у которого площадь боковой поверхности в 3 раза больше площади основания

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Представь, что у нас есть пластилиновый шарик, и мы из него делаем конус. Объём пластилина остаётся тем же, верно? **Шаг 1: Найдём объём шара.** Радиус шара $R_{шара} = \sqrt[3]{2}$. Формула для объёма шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{шара}^3$. Подставляем наше значение: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 2 = \frac{8}{3} \pi$$ **Шаг 2: Вспоминаем формулы для конуса.** Пусть радиус основания конуса будет $r$, а образующая (это такая линия, которая идёт от вершины конуса к краю основания) — $l$. Высота конуса будет $h$. * Площадь основания конуса: $S_{осн} = \pi r^2$ * Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$ * Объём конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ **Шаг 3: Используем условие про площади.** Нам сказано, что площадь боковой поверхности в 3 раза больше площади основания: $S_{бок} = 3 S_{осн}$ $\pi r l = 3 \pi r^2$ Разделим обе части на $\pi r$ (мы знаем, что $r$ не равно нулю, иначе конуса не будет): $l = 3r$ **Шаг 4: Связываем $r$, $l$ и $h$ для конуса.** У конуса радиус основания, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. Поэтому работает теорема Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$ Теперь подставим $l = 3r$: $(3r)^2 = r^2 + h^2$ $9r^2 = r^2 + h^2$ $8r^2 = h^2$ Значит, $r^2 = \frac{h^2}{8}$. **Шаг 5: Приравниваем объёмы.** Поскольку шар перелит в конус, их объёмы равны: $V_{шара} = V_{конуса}$ $\frac{8}{3} \pi = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ Разделим обе части на $\frac{1}{3} \pi$: $8 = r^2 h$ **Шаг 6: Находим высоту конуса.** Теперь подставим выражение для $r^2$ из Шага 4 в это уравнение: $8 = \left(\frac{h^2}{8}\right) h$ $8 = \frac{h^3}{8}$ Умножим обе части на 8: $8 \cdot 8 = h^3$ $64 = h^3$ Чтобы найти $h$, нужно извлечь кубический корень из 64: $h = \sqrt[3]{64}$ $h = 4$ **Ответ:** Высота конуса равна 4.