При каких положительных значениях k корни уравнения x²- (2k + 1)x+k²=0, относятся как 1 : 4?

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением. Нам дано квадратное уравнение $$x^2 - (2k + 1)x + k^2 = 0$$ и сказано, что его корни относятся как $$1 : 4$$. Это значит, что если один корень будет $$x_1$$, то другой корень $$x_2$$ будет в 4 раза больше, то есть $$x_2 = 4x_1$$. Для решения таких задач удобно использовать формулы Виета. Они связывают коэффициенты квадратного уравнения с его корнями: 1. Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -b/a$$ 2. Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = c/a$$ В нашем уравнении $$x^2 - (2k + 1)x + k^2 = 0$$: * $$a = 1$$ * $$b = -(2k + 1)$$ * $$c = k^2$$ Теперь подставим это в формулы Виета: 1. $$x_1 + x_2 = - (-(2k + 1))/1 = 2k + 1$$ 2. $$x_1 \cdot x_2 = k^2/1 = k^2$$ Мы знаем, что $$x_2 = 4x_1$$. Подставим это в наши новые уравнения: 1. $$x_1 + 4x_1 = 2k + 1 \Rightarrow 5x_1 = 2k + 1 \Rightarrow x_1 = (2k + 1)/5$$ 2. $$x_1 \cdot (4x_1) = k^2 \Rightarrow 4x_1^2 = k^2$$ Теперь у нас есть выражение для $$x_1$$ из первого уравнения. Подставим его во второе уравнение: $$4 \left(\frac{2k + 1}{5}\right)^2 = k^2$$ $$4 \frac{(2k + 1)^2}{25} = k^2$$ $$4(4k^2 + 4k + 1) = 25k^2$$ $$16k^2 + 16k + 4 = 25k^2$$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить обычное квадратное уравнение относительно $$k$$: $$25k^2 - 16k^2 - 16k - 4 = 0$$ $$9k^2 - 16k - 4 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $$D = b^2 - 4ac$$: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4)$$ $$D = 256 + 144$$ $$D = 400$$ Теперь найдём значения $$k$$ по формуле $$k = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a)$$ $$k_1 = (16 - \sqrt{400}) / (2 \cdot 9) = (16 - 20) / 18 = -4 / 18 = -2 / 9$$ $$k_2 = (16 + \sqrt{400}) / (2 \cdot 9) = (16 + 20) / 18 = 36 / 18 = 2$$ В условии сказано, что значения $$k$$ должны быть положительными. Из двух наших решений $$k_1 = -2/9$$ и $$k_2 = 2$$ положительным является только $$k_2 = 2$$. **Ответ: 2**