При каких положительных значениях k корни уравнения $$x^2 - (2k+1)x + k^2 = 0$$, относятся как 1 : 4?

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачку. У нас есть квадратное уравнение: $$x^2 - (2k+1)x + k^2 = 0$$ И известно, что корни этого уравнения относятся как 1 : 4. Это значит, что если один корень мы назовем $x_1$, а другой $x_2$, то $\frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{4}$ или $x_2 = 4x_1$. Вспомним формулы Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: 1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ В нашем уравнении: $a=1$, $b=-(2k+1)$, $c=k^2$. Подставим эти значения в формулы Виета: 1. $x_1 + x_2 = -\frac{-(2k+1)}{1} = 2k+1$ 2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{k^2}{1} = k^2$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x_2 = 4x_1 \\ x_1 + x_2 = 2k+1 \\ x_1 \cdot x_2 = k^2 \end{cases}$$ Подставим $x_2 = 4x_1$ в первое и второе уравнения: Из второго уравнения: $x_1 + 4x_1 = 2k+1$ $5x_1 = 2k+1$ $x_1 = \frac{2k+1}{5}$ Из третьего уравнения: $x_1 \cdot (4x_1) = k^2$ $4x_1^2 = k^2$ Теперь подставим значение $x_1$ в уравнение $4x_1^2 = k^2$: $4 \left(\frac{2k+1}{5}\right)^2 = k^2$ $4 \frac{(2k+1)^2}{25} = k^2$ $4 (2k+1)^2 = 25k^2$ Раскроем скобки: $4 (4k^2 + 4k + 1) = 25k^2$ $16k^2 + 16k + 4 = 25k^2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно k: $25k^2 - 16k^2 - 16k - 4 = 0$ $9k^2 - 16k - 4 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение для k, используя формулу для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ В нашем случае $a=9$, $b=-16$, $c=-4$: $k = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4)}}{2 \cdot 9}$ $k = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{18}$ $k = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{18}$ $k = \frac{16 \pm 20}{18}$ Находим два возможных значения для k: $k_1 = \frac{16 + 20}{18} = \frac{36}{18} = 2$ $k_2 = \frac{16 - 20}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$ В задании сказано, что k должно быть положительным значением. Из наших двух решений подходит только $k=2$. **Ответ:** $k=2$