Найди наибольшее значение функции y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 6x + 12) на отрезке [-19; -1]

Привет! Давай вместе найдем наибольшее значение функции. Мы будем использовать свойства логарифма и параболы. 1. **Найдём вершину параболы** внутри логарифма. Выражение $x^2 + 6x + 12$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, потому что коэффициент при $x^2$ равен 1 (он положительный). Наименьшее значение такой параболы будет в её вершине. Координата вершины по оси x находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=6$, $c=12$. $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3$ 2. **Проверим, входит ли вершина в наш отрезок.** Отрезок, который нам дали, это $[-19; -1]$. Число $-3$ находится между $-19$ и $-1$, то есть вершина параболы попадает в наш отрезок. Значит, функция под логарифмом будет иметь наименьшее значение именно при $x = -3$. 3. **Найдём значение параболы в вершине.** Подставим $x = -3$ в выражение $x^2 + 6x + 12$: $(-3)^2 + 6(-3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3$ Это наименьшее значение выражения $x^2 + 6x + 12$ на отрезке $[-19; -1]$. 4. **Определим, как логарифм влияет на значение функции.** У нас логарифм по основанию $\frac{1}{3}$. Так как основание $\frac{1}{3}$ меньше 1 (но больше 0), логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что чем больше число под логарифмом, тем меньше значение самого логарифма. И наоборот, чем меньше число под логарифмом, тем больше значение логарифма. 5. **Найдём наибольшее значение функции.** Чтобы функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 6x + 12)$ достигла наибольшего значения, выражение под логарифмом ($x^2 + 6x + 12$) должно быть наименьшим. Мы уже нашли это наименьшее значение: оно равно 3 при $x = -3$. Теперь подставим это наименьшее значение в логарифм: $y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(3)$ Чтобы найти это значение, нужно подумать: в какую степень нужно возвести $\frac{1}{3}$, чтобы получить 3? $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ Значит, $y_{max} = -1$. **Ответ:** $-1$