Найди площадь равностороннего треугольника, периметр которого равен 12 см.

Привет! Давай разберемся с этими задачами про треугольники. Это очень интересно! 1) Сначала найдём сторону равностороннего треугольника. У такого треугольника все стороны равны. Если периметр равен 12 см, а сторон три, то каждая сторона будет: $$a = \frac{P}{3} = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4 \text{ см}$$ Теперь найдём площадь. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ Подставим наше значение стороны $a = 4 \text{ см}$: $$S = \frac{(4 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}^2$** 2) У нас есть прямоугольный треугольник. Один острый угол равен 30°, а катет, который лежит напротив этого угла, равен 6 см. Давай назовем этот катет $a$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, если катет $a=6$ см, то гипотенуза $c$ будет в два раза больше: $$c = 2 \cdot a = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$$ Теперь нам нужен второй катет (назовем его $b$). Мы можем найти его с помощью теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) или через тригонометрию (например, $\cos(30°) = \frac{b}{c}$). Давай используем теорему Пифагора: $$(6 \text{ см})^2 + b^2 = (12 \text{ см})^2$$ $$36 + b^2 = 144$$ $$b^2 = 144 - 36$$ $$b^2 = 108$$ $$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \text{ см}^2 = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^2$** 3) У нас равнобедренный треугольник. Это значит, что две его стороны (боковые) равны. Периметр равен 50 см, а основание 14 см. Давай найдём длину боковых сторон. Периметр = основание + боковая сторона + боковая сторона. Пусть боковая сторона будет $b$. Тогда: $$50 \text{ см} = 14 \text{ см} + b + b$$ $$50 = 14 + 2b$$ $$2b = 50 - 14$$ $$2b = 36$$ $$b = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$ Итак, у нас треугольник со сторонами 18 см, 18 см и 14 см. Чтобы найти площадь, нам нужна высота. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам. Значит, у нас получится два прямоугольных треугольника. Катеты этих прямоугольных треугольников будут: половина основания (это $14 \text{ см} / 2 = 7 \text{ см}$) и высота ($h$). Гипотенуза — это боковая сторона (18 см). Используем теорему Пифагора: $$h^2 + (7 \text{ см})^2 = (18 \text{ см})^2$$ $$h^2 + 49 = 324$$ $$h^2 = 324 - 49$$ $$h^2 = 275$$ $$h = \sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = 5\sqrt{11} \text{ см}$$ Теперь, когда мы знаем основание ($a=14 \text{ см}$) и высоту ($h=5\sqrt{11} \text{ см}$), можем найти площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 5\sqrt{11} \text{ см}$$ $$S = 7 \cdot 5\sqrt{11} \text{ см}^2$$ $$S = 35\sqrt{11} \text{ см}^2$$ **Ответ: $35\sqrt{11} \text{ см}^2$**