Найди площадь равностороннего треугольника, периметр которого равен 12 см.

Привет! Давай вместе решим эти задачки! 1) **Найдём площадь равностороннего треугольника.** Равносторонний треугольник — это такой треугольник, у которого все стороны равны. * **Шаг 1: Найдём сторону треугольника.** Если периметр равен 12 см, а сторон три и они все одинаковые, то каждая сторона будет: $$a = \frac{\text{Периметр}}{3} = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4 \text{ см}$$ * **Шаг 2: Найдём площадь треугольника.** Для равностороннего треугольника есть специальная формула площади: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ Подставим нашу сторону $a = 4$ см: $$S = \frac{(4 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}^2$** 2) **Найдём площадь прямоугольного треугольника.** У нас есть прямоугольный треугольник, один острый угол равен 30°, а катет напротив него — 6 см. * **Шаг 1: Найдём второй катет.** В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Пусть угол $A = 30°$, противолежащий катет $a = 6$ см, а прилежащий катет $b$. $$\tan(A) = \frac{a}{b}$$ $$\tan(30°) = \frac{6 \text{ см}}{b}$$ Мы знаем, что $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6 \text{ см}}{b}$$ Отсюда найдём $b$: $$b = 6\sqrt{3} \text{ см}$$ * **Шаг 2: Найдём площадь треугольника.** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$ $$S = \frac{1}{2} \times 6 \text{ см} \times 6\sqrt{3} \text{ см} = \frac{1}{2} \times 36\sqrt{3} \text{ см}^2 = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^2$** 3) **Найдём площадь равнобедренного треугольника.** У нас есть равнобедренный треугольник с периметром 50 см и основанием 14 см. * **Шаг 1: Найдём боковые стороны треугольника.** В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть основание $b = 14$ см, а боковые стороны $a$. Периметр $P = a + a + b = 2a + b$. $$50 \text{ см} = 2a + 14 \text{ см}$$ $$2a = 50 \text{ см} - 14 \text{ см}$$ $$2a = 36 \text{ см}$$ $$a = \frac{36 \text{ см}}{2} = 18 \text{ см}$$ Итак, боковые стороны равны по 18 см. * **Шаг 2: Найдём высоту треугольника.** Чтобы найти площадь, нам нужна высота. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам и образует два одинаковых прямоугольных треугольника. Пусть высота будет $h$. Тогда в таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна боковой стороне (18 см), один катет — это половина основания (14 см / 2 = 7 см), а другой катет — это высота $h$. Используем теорему Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$: $$18^2 = h^2 + 7^2$$ $$324 = h^2 + 49$$ $$h^2 = 324 - 49$$ $$h^2 = 275$$ $$h = \sqrt{275} = \sqrt{25 \times 11} = 5\sqrt{11} \text{ см}$$ * **Шаг 3: Найдём площадь треугольника.** Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$ $$S = \frac{1}{2} \times 14 \text{ см} \times 5\sqrt{11} \text{ см} = 7 \times 5\sqrt{11} \text{ см}^2 = 35\sqrt{11} \text{ см}^2$$ **Ответ: $35\sqrt{11} \text{ см}^2$**