Найди значение выражения $\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^2}$

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. Главное тут — привести все числа к одинаковому основанию, обычно к самому простому. в) Чтобы решить этот пример, давай представим все числа как степени тройки, потому что $27$, $9$ и $81$ — это степени тройки. Смотри: $27 = 3^3$ $9 = 3^2$ $81 = 3^4$ Теперь подставим это в наше выражение: $$\frac{(3^3)^2 \cdot (3^2)^4}{(3^4)^2}$$ Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 4}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^8}$$ Теперь вспомним, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, а при делении вычитаются $a^m / a^n = a^{m-n}$: $$\frac{3^{6+8}}{3^8} = \frac{3^{14}}{3^8} = 3^{14-8} = 3^6$$ Осталось посчитать $3^6$: это $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$. **Ответ: 729** г) Здесь мы можем заметить, что $12$ можно разложить на множители $3$ и $4$. Это нам очень поможет! Перепишем выражение так: $$\frac{(3 \cdot 4)^6}{3^5 \cdot 4^5}$$ Теперь используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $$\frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 4^5}$$ Теперь у нас есть деление степеней с одинаковыми основаниями. Помнишь, что при делении степени вычитаются? $$3^{6-5} \cdot 4^{6-5}$$ $$3^1 \cdot 4^1$$ $$3 \cdot 4 = 12$$ **Ответ: 12**