Равносильны ли уравнения: 1) x + 4 = 12 и 1/4 * x = 2

Привет! Давай разберёмся, что такое равносильные уравнения. Это такие уравнения, у которых одни и те же решения. То есть, если число является решением одного уравнения, то оно обязательно должно быть решением и другого уравнения из пары. Посмотрим на твои пары: 1) Уравнения: $x + 4 = 12$ и $1/4 \cdot x = 2$ * Решаем первое: $x + 4 = 12 \Rightarrow x = 12 - 4 \Rightarrow x = 8$ * Решаем второе: $1/4 \cdot x = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot 4 \Rightarrow x = 8$ У этих уравнений одинаковые решения ($x=8$). Значит, они равносильны. 2) Уравнения: $x = 2$ и $x^2 = 4$ * Решение первого: $x = 2$ * Решения второго: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \sqrt{4} \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$ У второго уравнения есть решение $x = -2$, которого нет у первого. Значит, они не равносильны. 3) Уравнения: $x^2 = -12x$ и $x = -12$ * Решаем первое: $x^2 = -12x \Rightarrow x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(x + 12) = 0$ Значит, $x = 0$ или $x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12$. Решения: $x = 0$ и $x = -12$. * Решение второго: $x = -12$ У первого уравнения есть решение $x = 0$, которого нет у второго. Значит, они не равносильны. 4) Уравнения: $\sqrt{x} - 2 = -1$ и $|x - 2| = -1$ * Решаем первое: $\sqrt{x} - 2 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = -1 + 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1^2 \Rightarrow x = 1$. Решение: $x = 1$. * Решаем второе: $|x - 2| = -1$. Модуль числа (расстояние от нуля) всегда неотрицательный, то есть $|A| \ge 0$. А тут модуль равен отрицательному числу $-1$. Значит, у этого уравнения нет решений. У первого уравнения есть решение, а у второго нет. Значит, они не равносильны. 5) Уравнения: $x + 16 = x + 16$ и $(x^6 + 64) / (x^6 + 64) = 1$ * Решаем первое: $x + 16 = x + 16$. Это верное равенство при любом значении $x$. Значит, решениями являются все действительные числа. * Решаем второе: $(x^6 + 64) / (x^6 + 64) = 1$. Чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть $x^6 + 64 \ne 0$. Так как $x^6 \ge 0$, то $x^6 + 64$ всегда больше $0$. Значит, знаменатель никогда не равен нулю, и дробь всегда равна $1$. Решениями являются все действительные числа. У обоих уравнений одинаковые решения (все действительные числа). Значит, они равносильны. 6) Уравнения: $x + 2 = x + 2$ и $(x+2)/(x+2) = 1$ * Решаем первое: $x + 2 = x + 2$. Это верное равенство при любом значении $x$. Значит, решениями являются все действительные числа. * Решаем второе: $(x+2)/(x+2) = 1$. Чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть $x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$. Это уравнение справедливо для всех действительных чисел, кроме $x = -2$. У первого уравнения $x = -2$ является решением, а у второго нет. Значит, они не равносильны. 7) Уравнения: $x^2 + 6x + 9 = 0$ и $x + 3 = 0$ * Решаем первое: $x^2 + 6x + 9 = 0$. Это формула квадрата суммы: $(x+3)^2 = 0$. Значит, $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Решение: $x = -3$. * Решаем второе: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Решение: $x = -3$. У этих уравнений одинаковые решения ($x=-3$). Значит, они равносильны. 8) Уравнения: $(x^2 – 5x + 6) / (x-2) = 0$ и $x − 3 = 0$ * Решаем первое: $(x^2 – 5x + 6) / (x-2) = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x^2 – 5x + 6 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения. Можно заметить, что $2 \cdot 3 = 6$ и $2 + 3 = 5$. Значит, $(x-2)(x-3) = 0$. Отсюда $x=2$ или $x=3$. Знаменатель: $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$. Итак, $x=2$ мы исключаем. Остается только $x=3$. Решение: $x = 3$. * Решаем второе: $x − 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Решение: $x = 3$. У этих уравнений одинаковые решения ($x=3$). Значит, они равносильны. **Ответ:** 1) Равносильны 2) Не равносильны 3) Не равносильны 4) Не равносильны 5) Равносильны 6) Не равносильны 7) Равносильны 8) Равносильны