Найти множество решений неравенства $\frac{x + 8}{x - 7} < 0$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы их решить, мы будем использовать метод интервалов. Это значит, что мы найдём точки, где числитель или знаменатель равны нулю, отметим эти точки на числовой прямой и посмотрим, какой знак принимает всё выражение на каждом интервале. 1) $$\frac{x + 8}{x - 7} < 0$$ Сначала найдём, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель обращаются в ноль: $x + 8 = 0 \implies x = -8$ $x - 7 = 0 \implies x = 7$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой. Кружочки будут пустые, потому что неравенство строгое (знак <). ``` <----(-8)----(7)----> ``` Теперь возьмём по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения: - Если $x < -8$, например, $x = -10$: $$\frac{-10 + 8}{-10 - 7} = \frac{-2}{-17} = \frac{2}{17} > 0$$ - Если $-8 < x < 7$, например, $x = 0$: $$\frac{0 + 8}{0 - 7} = \frac{8}{-7} < 0$$ - Если $x > 7$, например, $x = 10$: $$\frac{10 + 8}{10 - 7} = \frac{18}{3} = 6 > 0$$ Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля (< 0), то есть отрицательным. Это происходит на интервале от -8 до 7. **Ответ: $(-8; 7)$** 2) $$\frac{x - 9}{x + 11} > 0$$ Найдём, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель обращаются в ноль: $x - 9 = 0 \implies x = 9$ $x + 11 = 0 \implies x = -11$ Отметим эти точки на числовой прямой. Кружочки будут пустые, так как неравенство строгое (>). ``` <----(-11)----(9)----> ``` Проверим знаки: - Если $x < -11$, например, $x = -12$: $$\frac{-12 - 9}{-12 + 11} = \frac{-21}{-1} = 21 > 0$$ - Если $-11 < x < 9$, например, $x = 0$: $$\frac{0 - 9}{0 + 11} = \frac{-9}{11} < 0$$ - Если $x > 9$, например, $x = 10$: $$\frac{10 - 9}{10 + 11} = \frac{1}{21} > 0$$ Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля (> 0), то есть положительным. Это происходит на интервалах от $-\infty$ до -11 и от 9 до $+\infty$. **Ответ: $(-\infty; -11) \cup (9; +\infty)$** 3) $$\frac{x - 3,2}{x - 4,8} \ge 0$$ Найдём, когда числитель и знаменатель равны нулю: $x - 3,2 = 0 \implies x = 3,2$ $x - 4,8 = 0 \implies x = 4,8$ Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=3,2$ будет закрашенной, потому что неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=4,8$ всегда будет пустой, потому что на ноль делить нельзя! ``` <----[3,2)----(4,8)----> ``` Проверим знаки: - Если $x < 3,2$, например, $x = 0$: $$\frac{0 - 3,2}{0 - 4,8} = \frac{-3,2}{-4,8} = \frac{32}{48} = \frac{2}{3} > 0$$ - Если $3,2 < x < 4,8$, например, $x = 4$: $$\frac{4 - 3,2}{4 - 4,8} = \frac{0,8}{-0,8} = -1 < 0$$ - Если $x > 4,8$, например, $x = 5$: $$\frac{5 - 3,2}{5 - 4,8} = \frac{1,8}{0,2} = 9 > 0$$ Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$), то есть положительным или равным нулю. Это происходит на интервалах от $-\infty$ до 3,2 (включая 3,2) и от 4,8 до $+\infty$ (не включая 4,8). **Ответ: $(-\infty; 3,2] \cup (4,8; +\infty)$** 4) $$\frac{x + 6,2}{x - 1,6} \le 0$$ Найдём, когда числитель и знаменатель равны нулю: $x + 6,2 = 0 \implies x = -6,2$ $x - 1,6 = 0 \implies x = 1,6$ Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-6,2$ будет закрашенной ($\le$), а точка $x=1,6$ — пустой (на ноль делить нельзя!). ``` <----[-6,2]----(1,6)----> ``` Проверим знаки: - Если $x < -6,2$, например, $x = -7$: $$\frac{-7 + 6,2}{-7 - 1,6} = \frac{-0,8}{-8,6} = \frac{0,8}{8,6} > 0$$ - Если $-6,2 < x < 1,6$, например, $x = 0$: $$\frac{0 + 6,2}{0 - 1,6} = \frac{6,2}{-1,6} < 0$$ - Если $x > 1,6$, например, $x = 2$: $$\frac{2 + 6,2}{2 - 1,6} = \frac{8,2}{0,4} > 0$$ Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$), то есть отрицательным или равным нулю. Это происходит на интервале от -6,2 (включая -6,2) до 1,6 (не включая 1,6). **Ответ: $[-6,2; 1,6)$**