Покажи, что система уравнений имеет бесконечно много решений: $\begin{cases} x+y=0, \\ 2x+2y=0; \end{cases}$

Привет! Давай разберёмся, почему эти системы уравнений имеют бесконечно много решений. Это очень интересно, ведь обычно у систем одно решение или совсем нет. ### 1) Система уравнений: $$\begin{cases} x+y=0 \\ 2x+2y=0 \end{cases}$$ Смотри, если мы посмотрим на второе уравнение $2x+2y=0$, то увидим, что обе части можно поделить на 2. Если мы это сделаем, то получим: $$ \frac{2x}{2} + \frac{2y}{2} = \frac{0}{2} $$ $$ x+y=0 $$ Получилось точно такое же уравнение, как и первое! Это значит, что оба уравнения говорят нам одно и то же. Представь, что у тебя две одинаковые загадки. Каждая из них даёт тебе одну и ту же подсказку. Значит, у этой загадки может быть очень много ответов! В данном случае, если $x+y=0$, то $y$ всегда будет равен $-x$. Например, если $x=1$, то $y=-1$. Если $x=5$, то $y=-5$. Если $x=-10$, то $y=10$. И так далее, мы можем подставить любое число вместо $x$ и найти соответствующее значение $y$. Поэтому таких пар $(x, y)$ очень много, точнее, бесконечно много. ### 2) Система уравнений: $$\begin{cases} x-y=3 \\ 2x-2y=6 \end{cases}$$ Здесь похожая ситуация! Во втором уравнении $2x-2y=6$ мы снова можем заметить, что все числа делятся на 2. Давай поделим обе части уравнения на 2: $$ \frac{2x}{2} - \frac{2y}{2} = \frac{6}{2} $$ $$ x-y=3 $$ И опять мы получили точно такое же уравнение, как и первое! Это значит, что эти два уравнения на самом деле одно и то же. Они описывают одну и ту же прямую на графике. И раз они совпадают, то любая точка на этой прямой будет решением. А на прямой бесконечно много точек! Если $x-y=3$, то $y$ всегда будет равен $x-3$. Например, если $x=3$, то $y=0$. Если $x=5$, то $y=2$. Если $x=0$, то $y=-3$. И таких пар снова бесконечно много. **Вывод:** Обе системы имеют бесконечно много решений, потому что второе уравнение в каждой системе является просто первым уравнением, умноженным на число (в данном случае, на 2). Это значит, что уравнения в системе зависимы, и по сути у нас только одно уникальное уравнение для двух неизвестных.