Реши примеры с корнями: $\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9}$, $\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}}$, $\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{54^4 \cdot 2^{12}}}$

Привет! Давай вместе разберемся с этими примерами. 4) Чтобы решить этот пример, мы можем воспользоваться свойством корня: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Если под корнем у нас произведение, то мы можем вынести каждый множитель из-под корня по отдельности. $$\sqrt[3]{4^6 \cdot 3^9} = \sqrt[3]{4^6} \cdot \sqrt[3]{3^9}$$ Теперь применим наше правило для каждого множителя: $$4^{\frac{6}{3}} \cdot 3^{\frac{9}{3}}$$ Выполним деление в показателях степени: $$4^2 \cdot 3^3$$ Теперь посчитаем значения: $$16 \cdot 27$$ $$16 \cdot 27 = 432$$ **Ответ: 432** 5) Здесь мы будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Сначала разделим корень на множители, а затем применим правило $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. $$\sqrt[7]{0,3^7 \cdot 5^{14}} = \sqrt[7]{0,3^7} \cdot \sqrt[7]{5^{14}}$$ Применяем правило: $$0,3^{\frac{7}{7}} \cdot 5^{\frac{14}{7}}$$ Выполняем деление: $$0,3^1 \cdot 5^2$$ Теперь считаем значения: $$0,3 \cdot 25$$ $$0,3 \cdot 25 = 7,5$$ **Ответ: 7,5** 6) В этом примере у нас есть дробь под корнем. Мы можем записать корень из дроби как корень из числителя, деленный на корень из знаменателя. А дальше действуем так же, как в предыдущих примерах. $$\sqrt[4]{\frac{3^8 \cdot 7^4}{54^4 \cdot 2^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{3^8 \cdot 7^4}}{\sqrt[4]{54^4 \cdot 2^{12}}}$$ Теперь разделим корни на множители в числителе и знаменателе: $$\frac{\sqrt[4]{3^8} \cdot \sqrt[4]{7^4}}{\sqrt[4]{54^4} \cdot \sqrt[4]{2^{12}}}$$ Применяем правило $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ для каждого множителя: $$\frac{3^{\frac{8}{4}} \cdot 7^{\frac{4}{4}}}{54^{\frac{4}{4}} \cdot 2^{\frac{12}{4}}}$$ Выполняем деление в показателях степени: $$\frac{3^2 \cdot 7^1}{54^1 \cdot 2^3}$$ Считаем значения: $$\frac{9 \cdot 7}{54 \cdot 8}$$ $$\frac{63}{432}$$ Теперь эту дробь можно сократить. И 63, и 432 делятся на 9: $$63 \div 9 = 7$$ $$432 \div 9 = 48$$ Получаем: $$\frac{7}{48}$$ **Ответ:** $\frac{7}{48}$