Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями.
### 1) $$\sqrt[4]{2x - 3} = -3$$
Смотри, корень чётной степени (у нас тут степень 4) всегда даёт неотрицательное число. То есть результат не может быть отрицательным. А у нас справа $-3$. Значит, такое уравнение не имеет решений.
**Ответ: Решений нет.**
### 2) $$\sqrt[3]{2x - 3} = -3$$
Здесь у нас корень нечётной степени (степень 3). Такие корни могут давать отрицательные числа. Чтобы избавиться от кубического корня, возведём обе части уравнения в третью степень:
$$( \sqrt[3]{2x - 3} )^3 = (-3)^3$$
$$2x - 3 = -27$$
Теперь это простое линейное уравнение:
$$2x = -27 + 3$$
$$2x = -24$$
$$x = \frac{-24}{2}$$
$$x = -12$$
**Ответ: $$-12$$**
### 3) $$\sqrt[8]{5 - x} = \sqrt[8]{3x - 3}$$
Тут у нас корни чётной степени (степень 8). Чтобы они существовали, выражения под корнем должны быть неотрицательными. То есть:
$$5 - x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le 5$$
$$3x - 3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 3x \ge 3 \quad \Rightarrow \quad x \ge 1$$
Значит, наше решение должно быть между 1 и 5, включая эти числа (от 1 до 5).
Теперь возведём обе части уравнения в восьмую степень:
$$( \sqrt[8]{5 - x} )^8 = ( \sqrt[8]{3x - 3} )^8$$
$$5 - x = 3x - 3$$
Перенесём $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$$5 + 3 = 3x + x$$
$$8 = 4x$$
$$x = \frac{8}{4}$$
$$x = 2$$
Теперь проверим, подходит ли наш $x=2$ к условиям $1 \le x \le 5$. Да, $1 \le 2 \le 5$, подходит!
**Ответ: $$2$$**
### 4) $$\sqrt{2x - 3} = \sqrt{1 - x}$$
Здесь тоже корни чётной степени (квадратные корни, степень 2). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$$2x - 3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \ge 3 \quad \Rightarrow \quad x \ge 1.5$$
$$1 - x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 1 \ge x \quad \Rightarrow \quad x \le 1$$
Смотри, мы получили, что $x$ должен быть больше или равен 1.5, И при этом меньше или равен 1. Это невозможно! Нет такого числа, которое одновременно больше 1.5 и меньше 1. Значит, у уравнения нет решений.
**Ответ: Решений нет.**
### 5) $$\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$$
Опять корни чётной степени (степень 12). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$$2x - 3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \ge 3 \quad \Rightarrow \quad x \ge 1.5$$
$$x^2 + x - 23 \ge 0$$
Возведём обе части уравнения в двенадцатую степень:
$$( \sqrt[12]{2x - 3} )^{12} = ( \sqrt[12]{x^2 + x - 23} )^{12}$$
$$2x - 3 = x^2 + x - 23$$
Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$0 = x^2 + x - 2x - 23 + 3$$
$$0 = x^2 - x - 20$$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$$a=1, b=-1, c=-20$$
$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$
Теперь проверим наши решения по условию $x \ge 1.5$:
- Для $x_1 = 5$: $5 \ge 1.5$. Подходит.
- Для $x_2 = -4$: $-4 \ge 1.5$. Не подходит.
Значит, единственное решение, которое подходит, это $x=5$.
**Ответ: $$5$$**
### 6) $$\sqrt{2x - 3} = 3 - 2x$$
Снова квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$2x - 3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \ge 3 \quad \Rightarrow \quad x \ge 1.5$$
Кроме того, правая часть уравнения (то, чему равен корень) должна быть неотрицательной, потому что корень не может быть отрицательным:
$$3 - 2x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \ge 2x \quad \Rightarrow \quad x \le 1.5$$
Совместим эти два условия: $x \ge 1.5$ и $x \le 1.5$. Это означает, что единственное возможное значение для $x$ — это $1.5$.
Давай подставим $x = 1.5$ в исходное уравнение и проверим:
$$\sqrt{2(1.5) - 3} = 3 - 2(1.5)$$
$$\sqrt{3 - 3} = 3 - 3$$
$$\sqrt{0} = 0$$
$$0 = 0$$
Это верно! Значит, $x=1.5$ — решение.
**Ответ: $$1.5$$**
