Реши уравнение $\sqrt[4]{2x - 3} = -3$

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Помни, что при решении таких уравнений нужно быть внимательным к области допустимых значений (ОДЗ), чтобы случайно не получить лишние корни. 1) $$\sqrt[4]{2x - 3} = -3$$ Корень чётной степени (у нас это четвёртая степень, как $\sqrt[4]{}$) всегда даёт неотрицательное число, то есть оно не может быть отрицательным. Поэтому $\sqrt[4]{2x - 3}$ не может равняться -3. Значит, у этого уравнения нет решений. **Ответ: нет решений** 2) $$\sqrt[3]{2x - 3} = -3$$ Корень нечётной степени (у нас это третья степень, как $\sqrt[3]{}$) может быть отрицательным. Чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в куб: $$( \sqrt[3]{2x - 3} )^3 = (-3)^3$$ $$2x - 3 = -27$$ Теперь решим простое линейное уравнение: $$2x = -27 + 3$$ $$2x = -24$$ $$x = \frac{-24}{2}$$ $$x = -12$$ **Ответ: -12** 3) $$\sqrt[8]{5 - x} = \sqrt[8]{3x - 3}$$$ Здесь у нас корни чётной степени, поэтому выражения под корнями должны быть неотрицательными. Это наши условия: $$(1) \quad 5 - x \ge 0 \implies x \le 5$$ $$(2) \quad 3x - 3 \ge 0 \implies 3x \ge 3 \implies x \ge 1$$ Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $1 \le x \le 5$. Теперь возведём обе части уравнения в восьмую степень: $$( \sqrt[8]{5 - x} )^8 = ( \sqrt[8]{3x - 3} )^8$$ $$5 - x = 3x - 3$$ Перенесём все x в одну сторону, а числа в другую: $$-x - 3x = -3 - 5$$ $$-4x = -8$$ $$x = \frac{-8}{-4}$$ $$x = 2$$ Проверим, подходит ли $x = 2$ к нашей ОДЗ ($1 \le x \le 5$). Да, $2$ находится в этом промежутке. Значит, это наш корень. **Ответ: 2** 4) $$\sqrt{2x - 3} = \sqrt{1 - x}$$$ Это корни чётной степени (квадратные корни), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$(1) \quad 2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$$ $$(2) \quad 1 - x \ge 0 \implies 1 \ge x \implies x \le 1$$ Смотри, у нас получилось, что $x$ должен быть больше или равен 1.5 И одновременно меньше или равен 1. Такого числа не существует! Значит, нет чисел, для которых оба выражения под корнями были бы неотрицательными. Поэтому у уравнения нет решений. **Ответ: нет решений** 5) $$\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$$$ Опять корни чётной степени. Значит, подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$(1) \quad 2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$$ $$(2) \quad x^2 + x - 23 \ge 0$$ Чтобы найти, когда второе выражение неотрицательно, сначала найдём его корни, приравняв к нулю: $$x^2 + x - 23 = 0$$ Используем формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 1 + 92 = 93$$ Корни будут: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{93}}{2}$$ Приблизительно: $\sqrt{93} \approx 9.64$ $$x_1 \approx \frac{-1 - 9.64}{2} = \frac{-10.64}{2} = -5.32$$ $$x_2 \approx \frac{-1 + 9.64}{2} = \frac{8.64}{2} = 4.32$$ Так как это парабола, ветви которой направлены вверх, $x^2 + x - 23 \ge 0$ при $x \le x_1$ или $x \ge x_2$. То есть $x \le -5.32$ или $x \ge 4.32$. Теперь объединим условия ОДЗ: $x \ge 1.5$ и ($x \le -5.32$ или $x \ge 4.32$). Наш общий промежуток для ОДЗ: $x \ge 4.32$. Теперь возведём обе части уравнения в двенадцатую степень: $$( \sqrt[12]{2x - 3} )^{12} = ( \sqrt[12]{x^2 + x - 23} )^{12}$$ $$2x - 3 = x^2 + x - 23$$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = x^2 + x - 2x - 23 + 3$$ $$0 = x^2 - x - 20$$ Найдём корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -20$. Это числа 5 и -4. Значит, $x = 5$ или $x = -4$. Теперь проверим, какие из этих корней подходят под нашу ОДЗ: $x \ge 4.32$. - Если $x = 5$: $5 \ge 4.32$. Подходит. - Если $x = -4$: $-4 \ge 4.32$. Не подходит. Значит, только $x = 5$ является решением. **Ответ: 5** 6) $$\sqrt{2x - 3} = 3 - 2x$$ Здесь у нас квадратный корень, поэтому: $$(1) \quad 2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$$ Ещё одно важное условие: правая часть уравнения тоже не может быть отрицательной, потому что корень (если он существует) всегда неотрицателен: $$(2) \quad 3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le 1.5$$ Из условий (1) и (2) следует, что единственное возможное значение для $x$ — это $x = 1.5$. Давай проверим его: При $x = 1.5$: $$\sqrt{2 \cdot 1.5 - 3} = 3 - 2 \cdot 1.5$$ $$\sqrt{3 - 3} = 3 - 3$$ $$\sqrt{0} = 0$$ $$0 = 0$$ Это верное равенство, значит, $x = 1.5$ является решением. **Допущение**: Если бы решения не совпали, мы бы возвели обе части в квадрат, но тогда пришлось бы отсеивать лишние корни с помощью ОДЗ. В данном случае повезло, что ОДЗ сразу дало нам единственного кандидата. Но давай представим, что мы бы сразу возвели в квадрат (что тоже возможно, но требует тщательной проверки): $$( \sqrt{2x - 3} )^2 = (3 - 2x)^2$$ $$2x - 3 = 9 - 12x + 4x^2$$ Перенесём всё в одну сторону: $$0 = 4x^2 - 12x - 2x + 9 + 3$$ $$0 = 4x^2 - 14x + 12$$ Разделим всё на 2, чтобы упростить: $$0 = 2x^2 - 7x + 6$$ Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$ Корни: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$$ $$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ Теперь проверим оба этих корня по нашей ОДЗ: $x \ge 1.5$ И $x \le 1.5$. Это означает, что $x$ должно быть строго $1.5$. - Для $x = 1.5$: удовлетворяет ОДЗ. - Для $x = 2$: не удовлетворяет ОДЗ ($2 \not\le 1.5$). Значит, $x=2$ — это посторонний корень. Итак, единственное решение $x = 1.5$. **Ответ: 1.5**