Найди корни уравнения √x + 1 + √3x + 1 = 8

Давай разберём эти примеры с корнями! 3) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{3x + 1} = 8$ Для начала, чтобы избавиться от корней, нужно поочередно возводить части уравнения в квадрат. Перенесем один корень в правую часть: $\sqrt{x + 1} = 8 - \sqrt{3x + 1}$ Теперь возведём обе части в квадрат. Помни, что $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $( \sqrt{x + 1} )^2 = ( 8 - \sqrt{3x + 1} )^2$ $x + 1 = 64 - 16\sqrt{3x + 1} + (3x + 1)$ $x + 1 = 64 - 16\sqrt{3x + 1} + 3x + 1$ Перенесем все, кроме корня, в одну сторону: $x + 1 - 64 - 3x - 1 = -16\sqrt{3x + 1}$ $-2x - 64 = -16\sqrt{3x + 1}$ Разделим всё на -2, чтобы упростить: $x + 32 = 8\sqrt{3x + 1}$ Теперь снова возведём обе части в квадрат: $(x + 32)^2 = (8\sqrt{3x + 1})^2$ $x^2 + 2 \cdot x \cdot 32 + 32^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3x + 1})^2$ $x^2 + 64x + 1024 = 64(3x + 1)$ $x^2 + 64x + 1024 = 192x + 64$ Перенесем всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 64x - 192x + 1024 - 64 = 0$ $x^2 - 128x + 960 = 0$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960$ $D = 16384 - 3840$ $D = 12544$ Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$ Теперь найдём корни уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-128) + 112}{2 \cdot 1} = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120$ $x_2 = \frac{-(-128) - 112}{2 \cdot 1} = \frac{128 - 112}{2} = \frac{16}{2} = 8$ Обязательно нужно проверить эти корни, подставив их в исходное уравнение, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние решения. Проверим $x = 120$: $\sqrt{120 + 1} + \sqrt{3 \cdot 120 + 1} = \sqrt{121} + \sqrt{360 + 1} = 11 + \sqrt{361} = 11 + 19 = 30$ $30 \neq 8$, значит, $x = 120$ — посторонний корень. Проверим $x = 8$: $\sqrt{8 + 1} + \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{9} + \sqrt{24 + 1} = 3 + \sqrt{25} = 3 + 5 = 8$ $8 = 8$, значит, $x = 8$ — правильный корень. **Ответ: $x = 8$** 4) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{16 – 3x} = 5$ Так же, как и в предыдущем примере, перенесем один корень в правую часть: $\sqrt{3x + 1} = 5 - \sqrt{16 - 3x}$ Возведём обе части в квадрат: $( \sqrt{3x + 1} )^2 = ( 5 - \sqrt{16 - 3x} )^2$ $3x + 1 = 25 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{16 - 3x} + (16 - 3x)$ $3x + 1 = 25 - 10\sqrt{16 - 3x} + 16 - 3x$ Перенесем все без корня в левую часть: $3x + 1 - 25 - 16 + 3x = -10\sqrt{16 - 3x}$ $6x - 40 = -10\sqrt{16 - 3x}$ Разделим всё на -2: $-3x + 20 = 5\sqrt{16 - 3x}$ Теперь снова возведём обе части в квадрат: $(-3x + 20)^2 = (5\sqrt{16 - 3x})^2$ $(-3x)^2 + 2 \cdot (-3x) \cdot 20 + 20^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{16 - 3x})^2$ $9x^2 - 120x + 400 = 25(16 - 3x)$ $9x^2 - 120x + 400 = 400 - 75x$ Перенесем всё в левую часть: $9x^2 - 120x + 75x + 400 - 400 = 0$ $9x^2 - 45x = 0$ Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $9x$ за скобки: $9x(x - 5) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $9x = 0$ или $x - 5 = 0$ $x_1 = 0$ или $x_2 = 5$ Опять же, нужно проверить эти корни в исходном уравнении. Проверим $x = 0$: $\sqrt{3 \cdot 0 + 1} + \sqrt{16 - 3 \cdot 0} = \sqrt{1} + \sqrt{16} = 1 + 4 = 5$ $5 = 5$, значит, $x = 0$ — правильный корень. Проверим $x = 5$: $\sqrt{3 \cdot 5 + 1} + \sqrt{16 - 3 \cdot 5} = \sqrt{15 + 1} + \sqrt{16 - 15} = \sqrt{16} + \sqrt{1} = 4 + 1 = 5$ $5 = 5$, значит, $x = 5$ — правильный корень. **Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$**