Реши уравнение $\sqrt[4]{2x - 3} = \sqrt[10]{1 - x}$

Привет! Давай разберемся с этими уравнениями. ### Задание 1 $$\sqrt[4]{2x - 3} = \sqrt[10]{1 - x}$$ Смотри, чтобы корни вообще существовали, под ними не может быть отрицательных чисел. 1. Для корня четвёртой степени $\sqrt[4]{2x - 3}$ нужно, чтобы $2x - 3 \ge 0$. Это значит $2x \ge 3$, то есть $x \ge 1.5$. 2. Для корня десятой степени $\sqrt[10]{1 - x}$ нужно, чтобы $1 - x \ge 0$. Это значит $1 \ge x$, или $x \le 1$. Получается, что $x$ должно быть одновременно больше или равно $1.5$ и меньше или равно $1$. Это невозможно! Нет такого числа, которое удовлетворяло бы обоим условиям. **Ответ: Корней нет.** ### Задание 2 $$\sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{x - 2} = \sqrt{7}$$ Тут тоже сначала подумаем про то, чтобы корни существовали: 1. Для $\sqrt{x + 4}$ нужно $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. 2. Для $\sqrt{x - 2}$ нужно $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Значит, $x$ должно быть больше или равно $2$. Теперь давай решим уравнение: Мы можем объединить корни с левой стороны, потому что они одного типа (квадратные): $$\sqrt{(x + 4)(x - 2)} = \sqrt{7}$$ Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: $$(x + 4)(x - 2) = 7$$ Раскроем скобки: $$x^2 - 2x + 4x - 8 = 7$$ Приведем подобные слагаемые: $$x^2 + 2x - 8 = 7$$ Перенесем 7 в левую часть, чтобы получить обычное квадратное уравнение: $$x^2 + 2x - 8 - 7 = 0$$ $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении $a=1$, $b=2$, $c=-15$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)$$ $$D = 4 + 60$$ $$D = 64$$ Теперь найдем корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Теперь очень важно проверить наши корни с условием $x \ge 2$, которое мы нашли в начале: * $x_1 = 3$: Это значение подходит, потому что $3 \ge 2$. * $x_2 = -5$: Это значение не подходит, потому что $-5$ не больше или равно $2$. Значит, подходит только один корень. **Ответ: $x = 3$**