Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка Е – середина ребра SB. Найди объём треугольной пирамиды EABC.

Привет! Давай разберёмся с этой задачкой. У нас есть правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, и её объём равен 132. Ещё есть точка $E$, которая находится ровно посередине ребра $SB$. Нам нужно найти объём маленькой треугольной пирамиды $EABC$. Смотри, что мы знаем про объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h$. Где $S_{основания}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. 1. **Сначала найдём объём треугольной пирамиды $SABC$.** Основанием большой четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$. Диагональ $AC$ делит этот квадрат на два одинаковых треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит, площадь треугольника $ABC$ будет ровно половиной площади квадрата $ABCD$. То есть $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота у пирамиды $SABC$ такая же, как у $SABCD$, потому что у них общая вершина $S$ и они опираются на части одного основания. Пусть эта высота будет $h$. Тогда объём пирамиды $SABC$ равен: $$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h\right)$$ Мы знаем, что выражение в скобках — это объём большой пирамиды $SABCD$. Значит: $$V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66$$ 2. **Теперь найдём объём пирамиды $EABC$.** Пирамида $EABC$ и пирамида $SABC$ имеют общее основание — треугольник $ABC$. Это очень удобно! Высота пирамиды $SABC$ — это расстояние от точки $S$ до плоскости основания $ABC$. А высота пирамиды $EABC$ — это расстояние от точки $E$ до той же плоскости основания $ABC$. Поскольку точка $E$ — середина ребра $SB$, то высота от точки $E$ до плоскости $ABC$ будет ровно в два раза меньше, чем высота от точки $S$ до той же плоскости. Это происходит потому, что треугольники $SBO_1$ и $EBO_2$ будут подобны, где $O_1$ и $O_2$ — проекции $S$ и $E$ на плоскость основания (или на прямую, перпендикулярную основанию). То есть $h_E = \frac{1}{2} h_S$. Тогда объём пирамиды $EABC$ равен: $$V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot \frac{1}{2} h_S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S\right)$$ А выражение в скобках — это объём пирамиды $SABC$, который мы уже нашли. Значит: $$V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} \cdot 66 = 33$$ **Ответ: 33**