Найди область определения функций 1. y = (x² - 2x + 1) / (x - 1), 2. y = (x³ - 2x² + 1) / (x² - 1), 3. y = √(x - 2) + √(2 - x), 4. y = √(1 - x), 5. y = √(x + 2) / (x - 1), 6. y = √(x - 3) / (x² - 4)

Привет! Давай разберемся с этими задачами по очереди. Нам нужно найти область определения каждой функции. Область определения — это все значения "x", при которых функция имеет смысл, то есть её можно посчитать. Обычно есть два основных правила, которые нужно помнить: 1. **Деление на ноль нельзя!** Знаменатель дроби (то, что внизу) никогда не должен быть равен нулю. 2. **Корень четной степени (например, квадратный) из отрицательного числа брать нельзя!** Выражение под корнем четной степени должно быть больше или равно нулю. Поехали! ### Задача 1 Функция: $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$ Это дробь. Мы знаем, что знаменатель не может быть равен нулю. 1. Найдем, когда знаменатель равен нулю: $$x - 1 = 0$$ 2. Решим это простое уравнение: $$x = 1$$ Значит, $x$ не может быть равен 1. Все остальные значения $x$ нам подходят. Область определения этой функции - все числа, кроме 1. **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$** --- ### Задача 2 Функция: $y = \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 1}$ И снова у нас дробь. Знаменатель не должен быть равен нулю. 1. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти "запрещенные" значения: $$x^2 - 1 = 0$$ 2. Это уравнение можно решить, перенеся 1 в правую часть: $$x^2 = 1$$ 3. Чтобы найти $x$, нужно взять квадратный корень из обеих частей. Не забудь, что есть два корня: положительный и отрицательный! $$x = \sqrt{1} \text{ или } x = -\sqrt{1}$$ $$x = 1 \text{ или } x = -1$$ Значит, $x$ не может быть равен 1 и $x$ не может быть равен -1. Все остальные числа нам подходят. **Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$** --- ### Задача 3 Функция: $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$ Здесь у нас сумма двух квадратных корней. Для каждого корня выражение под ним должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). 1. Рассмотрим первый корень $\sqrt{x - 2}$: Выражение под корнем $x - 2$ должно быть $\ge 0$: $$x - 2 \ge 0$$ $$x \ge 2$$ 2. Рассмотрим второй корень $\sqrt{2 - x}$: Выражение под корнем $2 - x$ должно быть $\ge 0$: $$2 - x \ge 0$$ Перенесем $x$ в правую часть: $$2 \ge x$$ Или, что то же самое: $$x \le 2$$ 3. Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $x \ge 2$ И $x \le 2$. Единственное число, которое больше или равно 2, и при этом меньше или равно 2, это само число 2. Значит, $x$ может быть только равен 2. **Ответ: $x = 2$** --- ### Задача 4 Функция: $y = \sqrt{1 - x}$ Здесь у нас один квадратный корень. 1. Выражение под корнем $1 - x$ должно быть неотрицательным: $$1 - x \ge 0$$ 2. Перенесем $x$ в правую часть: $$1 \ge x$$ Или, как чаще записывают: $$x \le 1$$ Значит, $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно 1. **Ответ: $x \in (-\infty; 1]$** --- ### Задача 5 Функция: $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ В этой функции есть и корень, и дробь. Нужно учесть оба правила. 1. **Правило для корня:** Выражение под корнем $x + 2$ должно быть неотрицательным: $$x + 2 \ge 0$$ $$x \ge -2$$ 2. **Правило для дроби:** Знаменатель $x - 1$ не должен быть равен нулю: $$x - 1 \neq 0$$ $$x \neq 1$$ 3. Теперь совместим оба условия. $x$ должен быть больше или равен -2, но при этом $x$ не должен быть равен 1. Можно изобразить это на числовой прямой: ----(-2)----------------(1)------> $X$ Мы берем все числа от -2 и правее, но "выкалываем" точку 1. **Ответ: $x \in [-2; 1) \cup (1; +\infty)$** --- ### Задача 6 Функция: $y = \frac{\sqrt{x - 3}}{x^2 - 4}$ И в этой функции есть и корень, и дробь. 1. **Правило для корня:** Выражение под корнем $x - 3$ должно быть неотрицательным: $$x - 3 \ge 0$$ $$x \ge 3$$ 2. **Правило для дроби:** Знаменатель $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю: $$x^2 - 4 \neq 0$$ Разложим на множители: $$(x - 2)(x + 2) \neq 0$$ Значит, $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. И $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. 3. Теперь объединяем все условия: $x \ge 3$, $x \neq 2$, $x \neq -2$. Если $x \ge 3$, то $x$ уже точно не равен ни 2, ни -2 (потому что 2 и -2 меньше 3). Поэтому главное условие здесь $x \ge 3$. **Ответ: $x \in [3; +\infty)$**