Привет! Отличные задачки про монеты и весы! Давай разберёмся по порядку.
### 1. (а) Три монеты, одна фальшивая (легче)
Чтобы найти фальшивую монету среди трёх, можно обойтись всего одним взвешиванием:
1. Возьми две монеты, например, монету №1 и монету №2. Положи их на разные чаши весов.
2. Есть два варианта:
* Если весы в равновесии, значит, эти две монеты настоящие. Тогда оставшаяся монета №3 — фальшивая.
* Если одна из чаш перевешивает, то монета на той чаше, что поднялась выше (стала легче), и есть фальшивая. Ведь фальшивая монета легче настоящих.
**Ответ: Можно обойтись одним взвешиванием.**
### 1. (b) Девять монет, одна фальшивая (легче)
Представь, что у тебя есть 9 монет. Мы можем разделить их на три кучки по 3 монеты в каждой.
1. Возьмём две кучки (по 3 монеты в каждой) и положим их на весы.
2. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в той кучке, которую мы не взвешивали.
3. Если одна кучка легче, то фальшивая монета в ней.
4. Теперь у нас есть кучка из 3 монет, среди которых одна фальшивая. Как мы уже выяснили в задаче (а), чтобы найти её, понадобится ещё одно взвешивание.
Итак, 1-е взвешивание (3 монеты против 3 монет) помогает найти кучку из трёх монет с фальшивой, а 2-е взвешивание (1 монета против 1 монеты из этой кучки) — саму фальшивую монету.
**Ответ: Понадобится 2 взвешивания.**
### 1. (с) 27 монет, одна фальшивая (легче)
Здесь принцип тот же, что и с 9 монетами, только теперь у нас больше кучек.
1. Раздели все 27 монет на три равные кучки: по 9 монет в каждой.
2. Положи на весы две кучки (9 против 9 монет). Определи, в какой кучке фальшивая монета (как в пункте (b)). Это будет **первое взвешивание**.
3. Теперь у нас есть 9 монет, среди которых одна фальшивая. Раздели их снова на три кучки: по 3 монеты в каждой.
4. Положи на весы две кучки (3 против 3 монет). Определи, в какой кучке фальшивая монета. Это будет **второе взвешивание**.
5. У тебя останется кучка из 3 монет, среди которых одна фальшивая. Как мы уже знаем, для этого понадобится **третье взвешивание** (1 против 1 монеты).
**Ответ: За три взвешивания можно найти фальшивую монету.**
### 1. (d) 80 монет, одна фальшивая (легче)
Здесь нужно понять, сколько монет мы можем проверить за определённое количество взвешиваний. Каждое взвешивание на чашечных весах (если мы делим монеты на три группы: левая чаша, правая чаша, оставшиеся) позволяет уменьшить количество монет с фальшивой в 3 раза.
* За 1 взвешивание можно найти фальшивую среди 3 монет.
* За 2 взвешивания — среди $3 \times 3 = 9$ монет.
* За 3 взвешивания — среди $3 \times 3 \times 3 = 27$ монет.
* За 4 взвешивания — среди $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ монеты.
Так как у нас 80 монет, а за 4 взвешивания мы можем найти фальшивую среди 81 монеты, то и среди 80 монет это можно сделать.
Как это сделать:
1. Раздели 80 монет на три кучки: 27 монет, 27 монет и 26 монет.
2. Положи на весы две кучки по 27 монет. (**1-е взвешивание**)
* Если весы в равновесии, фальшивая монета среди 26 монет. Возьми одну настоящую монету (например, из тех, что были на весах и оказались настоящими) и добавь её к 26 монетам, чтобы получилось 27. Теперь у нас есть 27 монет, одна из которых фальшивая. Далее действуй, как в пункте (с), за 3 взвешивания найдёшь фальшивую.
* Если одна чаша перевесит, то фальшивая монета в более лёгкой кучке из 27 монет. И снова действуй, как в пункте (с), за 3 взвешивания найдёшь фальшивую.
Итого: 1 взвешивание (с 80 монетами) + 3 взвешивания (с 27 монетами) = 4 взвешивания.
**Ответ: За четыре взвешивания можно найти фальшивую монету.**
