Решить уравнение $3x^5 + 2x^3 + 10x - 130 = (18-5x)^{\frac{1}{3}}$

Ух ты, какое интересное уравнение! Тут сразу видно, что $x=2$ является корнем. Давай проверим: Подставим $x=2$ в левую часть уравнения: $$3(2)^5 + 2(2)^3 + 10(2) - 130 = 3 \cdot 32 + 2 \cdot 8 + 20 - 130 = 96 + 16 + 20 - 130 = 132 - 130 = 2$$ Теперь подставим $x=2$ в правую часть уравнения: $$(18-5 \cdot 2)^{\frac{1}{3}} = (18-10)^{\frac{1}{3}} = (8)^{\frac{1}{3}} = 2$$ Левая и правая части равны, значит, $x=2$ — это корень! Теперь давай подумаем, могут ли быть другие корни. Для этого рассмотрим две функции: $f(x) = 3x^5 + 2x^3 + 10x - 130$ $g(x) = (18-5x)^{\frac{1}{3}}$ Давай найдём производные этих функций, чтобы понять, как они себя ведут (растут или убывают): $f'(x) = 15x^4 + 6x^2 + 10$ Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то $15x^4 \ge 0$ и $6x^2 \ge 0$. А ещё $10 > 0$. Значит, $f'(x)$ всегда больше нуля ($f'(x) > 0$) для любых значений $x$. Это значит, что функция $f(x)$ всё время растёт. Теперь найдём производную для $g(x)$: $g'(x) = \frac{1}{3}(18-5x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (-5) = \frac{1}{3}(18-5x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-5) = -\frac{5}{3(18-5x)^{\frac{2}{3}}}$ Обрати внимание, что $(18-5x)^{\frac{2}{3}}$ всегда будет положительным (потому что это квадратный корень в квадрате, или просто число в степени 2/3, которое всегда неотрицательное, если оно определено). Значит, $3(18-5x)^{\frac{2}{3}}$ тоже будет положительным. А вот в числителе у нас $-5$. Значит, $g'(x)$ всегда будет отрицательным ($g'(x) < 0$) там, где функция определена (то есть $18-5x \neq 0$). Это значит, что функция $g(x)$ всё время убывает. Итак, у нас есть две функции: одна всё время растёт, а другая всё время убывает. Такие функции могут пересечься (а значит, быть равными) только в одной точке. Поскольку мы уже нашли такую точку ($x=2$), то это единственный корень уравнения. **Ответ:** $x=2$