Реши уравнение $(x-2)^2 = (x-9)^2$

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Тут у нас квадраты, но не пугайся, есть несколько способов решить. **Способ 1: Раскрываем скобки и упрощаем** Мы можем раскрыть обе скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. 1. Раскрываем левую часть: $$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$$ 2. Раскрываем правую часть: $$(x-9)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 - 18x + 81$$ 3. Теперь наше уравнение выглядит так: $$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 18x + 81$$ 4. Давай перенесём всё, что связано с $x$, в левую часть, а числа — в правую. Когда переносим через знак равенства, знак меняется на противоположный: $$x^2 - 4x - x^2 + 18x = 81 - 4$$ 5. Упрощаем: $$(-4x + 18x) + (x^2 - x^2) = 77$$ $$14x = 77$$ 6. Находим $x$, для этого делим 77 на 14: $$x = \frac{77}{14}$$ 7. Сокращаем дробь. Оба числа делятся на 7: $$x = \frac{77 \div 7}{14 \div 7} = \frac{11}{2}$$ 8. Можно записать как десятичную дробь: $$x = 5.5$$ **Способ 2: Используем разность квадратов** Это более быстрый способ. Мы знаем, что $a^2 = b^2$ можно переписать как $a^2 - b^2 = 0$. А формулу разности квадратов вы помните? $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. 1. Перенесём всё в левую часть: $$(x-2)^2 - (x-9)^2 = 0$$ 2. Теперь используем формулу разности квадратов. Здесь $a = (x-2)$ и $b = (x-9)$. $$((x-2) - (x-9))((x-2) + (x-9)) = 0$$ 3. Упрощаем выражения в скобках: - Первая скобка: $x - 2 - x + 9 = (-2 + 9) + (x - x) = 7$ - Вторая скобка: $x - 2 + x - 9 = (x + x) + (-2 - 9) = 2x - 11$ 4. Теперь наше уравнение выглядит так: $$(7)(2x - 11) = 0$$ 5. Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Поскольку $7 \neq 0$, то второй множитель должен быть равен нулю: $$2x - 11 = 0$$ 6. Решаем это простое уравнение: $$2x = 11$$ $$x = \frac{11}{2}$$ 7. Или в десятичной дроби: $$x = 5.5$$ Оба способа дают один и тот же результат. Выбирай тот, который тебе больше нравится! **Ответ:** $x = 5.5$