Сократи дроби 105/165; 75/450; 135/180; 144:369

Привет! Отлично, давай вместе разберем, как сокращать дроби. Это очень похоже на то, как мы делим числа, только теперь мы делим и верхнее число (числитель), и нижнее число (знаменатель) на одно и то же число, пока они не станут "неделимыми" на что-то общее. Главное правило: мы можем сократить дробь, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. И мы будем делить до тех пор, пока у них не останется общих делителей, кроме единицы. Давай по порядку! ### Сократим дробь $\frac{105}{165}$ 1. Посмотрим на числа $105$ и $165$. Оба числа заканчиваются на $5$. А это значит, что они точно делятся на $5$. * Разделим $105$ на $5$: $$105 \div 5 = 21$$ * Разделим $165$ на $5$: $$165 \div 5 = 33$$ Теперь наша дробь выглядит как $\frac{21}{33}$. 2. Теперь посмотрим на числа $21$ и $33$. Мы знаем, что оба эти числа есть в таблице умножения на $3$. * Разделим $21$ на $3$: $$21 \div 3 = 7$$ * Разделим $33$ на $3$: $$33 \div 3 = 11$$ Теперь наша дробь стала $\frac{7}{11}$. 3. Числа $7$ и $11$ – это простые числа, то есть они делятся только на себя и на $1$. У них нет общих делителей, кроме $1$. Значит, дробь $\frac{7}{11}$ больше нельзя сократить. **Ответ: $\frac{7}{11}$** --- ### Сократим дробь $\frac{75}{450}$ 1. Опять видим, что оба числа – $75$ и $450$ – заканчиваются на $5$ или $0$. Значит, они делятся на $5$. * Разделим $75$ на $5$: $$75 \div 5 = 15$$ * Разделим $450$ на $5$: $$450 \div 5 = 90$$ Теперь у нас дробь $\frac{15}{90}$. 2. Числа $15$ и $90$ снова заканчиваются на $5$ и $0$, значит, они снова делятся на $5$. * Разделим $15$ на $5$: $$15 \div 5 = 3$$ * Разделим $90$ на $5$: $$90 \div 5 = 18$$ Теперь наша дробь $\frac{3}{18}$. 3. Посмотрим на $3$ и $18$. Мы знаем, что $18$ делится на $3$. * Разделим $3$ на $3$: $$3 \div 3 = 1$$ * Разделим $18$ на $3$: $$18 \div 3 = 6$$ Получили дробь $\frac{1}{6}$. 4. Числа $1$ и $6$ не имеют общих делителей, кроме $1$. Значит, это окончательный ответ. **Ответ: $\frac{1}{6}$** --- ### Сократим дробь $\frac{135}{180}$ 1. Числа $135$ и $180$ заканчиваются на $5$ и $0$. Смело делим на $5$. * Разделим $135$ на $5$: $$135 \div 5 = 27$$ * Разделим $180$ на $5$: $$180 \div 5 = 36$$ Получилась дробь $\frac{27}{36}$. 2. Теперь у нас $27$ и $36$. Оба числа делятся на $9$ (потому что $2+7=9$, $3+6=9$). А если сумма цифр делится на $9$, то и само число делится на $9$. * Разделим $27$ на $9$: $$27 \div 9 = 3$$ * Разделим $36$ на $9$: $$36 \div 9 = 4$$ Теперь у нас дробь $\frac{3}{4}$. 3. Числа $3$ и $4$ не имеют общих делителей, кроме $1$. Тройка – простое число, а у четверки делители $1, 2, 4$. Ничего общего, кроме $1$. **Ответ: $\frac{3}{4}$** --- ### Сократим дробь $144:369$ (Это то же самое, что $\frac{144}{369}$) 1. Посмотрим на числа $144$ и $369$. Они не заканчиваются на $0$ или $5$, поэтому на $5$ делить не будем. Проверим, делятся ли они на $3$ или $9$. * Для числа $144$: сумма цифр $1+4+4=9$. Раз $9$ делится на $3$ и на $9$, значит, $144$ тоже делится на $3$ и на $9$. * Для числа $369$: сумма цифр $3+6+9=18$. Раз $18$ делится на $3$ и на $9$, значит, $369$ тоже делится на $3$ и на $9$. 2. Раз оба числа делятся на $9$, давай сразу разделим на $9$. Это быстрее. * Разделим $144$ на $9$: $$\begin{array}{r|l} 144 \hphantom{0} & 9 \\ \hline \underline{-9} \hphantom{40} & 16 \\ 54 \hphantom{0} \\ \underline{-54} \hphantom{0} \\ 0 \end{array}$$ Значит, $144 \div 9 = 16$. * Разделим $369$ на $9$: $$\begin{array}{r|l} 369 \hphantom{0} & 9 \\ \hline \underline{-36} \hphantom{90} & 41 \\ 9 \hphantom{0} \\ \underline{-9} \hphantom{0} \\ 0 \end{array}$$ Значит, $369 \div 9 = 41$. Получилась дробь $\frac{16}{41}$. 3. Теперь у нас $16$ и $41$. * У числа $16$ делители: $1, 2, 4, 8, 16$. * А число $41$ – это простое число, то есть оно делится только на $1$ и на $41$. Общих делителей, кроме $1$, у них нет. Значит, дробь сократить больше нельзя. **Ответ: $\frac{16}{41}$**