Вычисли, используя правило сокращения дробей (2 * 2 * 32 * 5 * 11 * 13) : (2 * 3 * 112 * 13)

Привет! Давай вместе разберем это задание по шагам. Оно на сокращение дробей, это очень полезное умение в математике! Нам нужно вычислить выражение: $(2 \cdot 2 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13) : (2 \cdot 3 \cdot 112 \cdot 13)$ **Шаг 1: Запишем это как дробь.** Запись через двоеточие означает деление, а деление можно записать в виде дроби. То, что до двоеточия, пойдёт в числитель (наверх), а то, что после — в знаменатель (вниз). $$ \frac{2 \cdot 2 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 3 \cdot 112 \cdot 13} $$ **Шаг 2: Разложим числа 32 и 112 на простые множители.** Это значит, что мы представим эти числа как произведение только тех чисел, которые делятся только на 1 и на себя (например, 2, 3, 5, 7, 11...). * Разложим 32: $32 = 2 \cdot 16$ $16 = 2 \cdot 8$ $8 = 2 \cdot 4$ $4 = 2 \cdot 2$ Значит, $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$. * Разложим 112: $112 = 2 \cdot 56$ $56 = 2 \cdot 28$ $28 = 2 \cdot 14$ $14 = 2 \cdot 7$ Значит, $112 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$. **Шаг 3: Подставим эти разложения в нашу дробь.** $$ \frac{2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7) \cdot 13} $$ Теперь посчитаем, сколько двоек в числителе и знаменателе: * В числителе: $2 \cdot 2 \cdot (2^5) = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^5 = 2^{1+1+5} = 2^7$ * В знаменателе: $2 \cdot (2^4) = 2^1 \cdot 2^4 = 2^{1+4} = 2^5$ Перепишем дробь с этими степенями: $$ \frac{2^7 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13}{2^5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13} $$ **Шаг 4: Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.** Мы можем "убрать" одинаковые числа сверху и снизу. * Число 13 есть и в числителе, и в знаменателе, значит, оно сокращается: $$ \frac{2^7 \cdot 5 \cdot 11 \cdot \cancel{13}}{2^5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cancel{13}} $$ * У нас есть $2^7$ в числителе и $2^5$ в знаменателе. Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $2^7 : 2^5 = 2^{7-5} = 2^2$. Этот результат остаётся там, где степень была больше, то есть в числителе. $$ \frac{2^{7-5} \cdot 5 \cdot 11}{3 \cdot 7} = \frac{2^2 \cdot 5 \cdot 11}{3 \cdot 7} $$ **Шаг 5: Вычислим оставшееся.** * В числителе: $2^2 \cdot 5 \cdot 11 = (2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot 11 = 4 \cdot 5 \cdot 11 = 20 \cdot 11 = 220$ * В знаменателе: $3 \cdot 7 = 21$ Получаем дробь: $$ \frac{220}{21} $$ **Шаг 6: Выделим целую часть (по желанию, но это хорошая практика для неправильных дробей).** Разделим 220 на 21 столбиком: $$ \begin{array}{ccc|l} 2 & 2 & 0 & 21 \\ \hline 2 & 1 & & 10 \\ \hline & 1 & 0 \end{array} $$ Мы видим, что 21 помещается в 220 десять раз (21 * 10 = 210), и остаётся 10. Значит, $220 \div 21 = 10$ и $10$ в остатке. Это можно записать как $10 \frac{10}{21}$. **Ответ:** $\frac{220}{21}$ или $10 \frac{10}{21}$