Вычислите значения выражений: $\frac{1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2}{0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7}$

Привет! Давай вместе разберёмся с этими выражениями. Главное здесь — быть внимательным и использовать свойство вынесения общего множителя за скобки. Это очень помогает упростить вычисления! ### a) Выражение: $$\frac{1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2}{0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7}$$ Смотри, в числителе (это верхняя часть дроби) и в знаменателе (нижняя часть дроби) есть повторяющиеся числа. Давай вынесем их за скобки. 1. **Числитель:** $1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2$ Здесь общий множитель $1,9$. Выносим $1,9$ за скобки: $1,9 \cdot (3,8 + 1,2)$ Сложим числа в скобках: $3,8 + 1,2 = 5$ Получается: $1,9 \cdot 5$ 2. **Знаменатель:** $0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7$ Запомни, $0,2^2$ это то же самое, что $0,2 \cdot 0,2$. Значит, у нас $0,2 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 1,7$. Общий множитель здесь $0,2$. Выносим $0,2$ за скобки: $0,2 \cdot (0,2 + 1,7)$ Сложим числа в скобках: $0,2 + 1,7 = 1,9$ Получается: $0,2 \cdot 1,9$ 3. **Собираем дробь:** $$\frac{1,9 \cdot 5}{0,2 \cdot 1,9}$$ Видишь, $1,9$ есть и сверху, и снизу? Мы можем его сократить! $$\frac{5}{0,2}$$ 4. **Считаем окончательно:** Чтобы разделить $5$ на $0,2$, можно умножить и верх, и низ на $10$, чтобы убрать десятичную дробь: $$\frac{5 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{50}{2} = 25$$ **Ответ: 25** ### б) Выражение: $$\frac{1\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}}{(1\frac{2}{7})^2 - 1\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7}}$$ Ох, тут смешанные дроби! Не переживай, сначала переведём их в неправильные. $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$ $1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$ Теперь подставим их в выражение: $$\frac{\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}}{(\frac{9}{7})^2 - \frac{9}{7} \cdot \frac{2}{7}}$$ 1. **Числитель:** $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$ Здесь общий множитель — это $\frac{5}{7}$ и $\frac{2}{3}$ (но давай внимательнее: во втором слагаемом $4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$, а в первом $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7}$). Удобнее заметить, что общий множитель здесь $\frac{5}{7}$. Выносим $\frac{5}{7}$ за скобки: $\frac{5}{7} \cdot (\frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{2}{3})$ Теперь посчитаем то, что в скобках: $4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$ $\frac{5}{3} - \frac{8}{3} = \frac{5 - 8}{3} = \frac{-3}{3} = -1$ Значит, числитель становится: $\frac{5}{7} \cdot (-1) = -\frac{5}{7}$ 2. **Знаменатель:** $(\frac{9}{7})^2 - \frac{9}{7} \cdot \frac{2}{7}$ Это то же самое, что $\frac{9}{7} \cdot \frac{9}{7} - \frac{9}{7} \cdot \frac{2}{7}$. Общий множитель здесь $\frac{9}{7}$. Выносим $\frac{9}{7}$ за скобки: $\frac{9}{7} \cdot (\frac{9}{7} - \frac{2}{7})$ Считаем в скобках: $\frac{9}{7} - \frac{2}{7} = \frac{9 - 2}{7} = \frac{7}{7} = 1$ Значит, знаменатель становится: $\frac{9}{7} \cdot 1 = \frac{9}{7}$ 3. **Собираем дробь:** $$\frac{-\frac{5}{7}}{\frac{9}{7}}$$ Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевёрнутую вторую. $$-\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9}$$ Семёрки сокращаются! $$-\frac{5}{9}$$ **Ответ: $-\frac{5}{9}$** ### в) Выражение: $$\frac{1,7 \cdot 1,6 + 1,7^2}{3,4 \cdot 8,7 - 3,4 \cdot 5,4}$$ Снова выносим общие множители. 1. **Числитель:** $1,7 \cdot 1,6 + 1,7^2$ Это $1,7 \cdot 1,6 + 1,7 \cdot 1,7$. Общий множитель $1,7$. Выносим $1,7$ за скобки: $1,7 \cdot (1,6 + 1,7)$ Считаем в скобках: $1,6 + 1,7 = 3,3$ Получается: $1,7 \cdot 3,3$ 2. **Знаменатель:** $3,4 \cdot 8,7 - 3,4 \cdot 5,4$ Общий множитель $3,4$. Выносим $3,4$ за скобки: $3,4 \cdot (8,7 - 5,4)$ Считаем в скобках: $8,7 - 5,4 = 3,3$ Получается: $3,4 \cdot 3,3$ 3. **Собираем дробь:** $$\frac{1,7 \cdot 3,3}{3,4 \cdot 3,3}$$ Видим, что $3,3$ есть и сверху, и снизу. Сокращаем! $$\frac{1,7}{3,4}$$ 4. **Считаем окончательно:** $3,4$ - это $2 \cdot 1,7$. Значит, у нас $\frac{1,7}{2 \cdot 1,7}$. Сокращаем $1,7$. Получается $\frac{1}{2}$, или $0,5$. **Ответ: 0,5** ### г) Выражение: $$\frac{1\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{15} - \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{9}}{(1\frac{2}{5})^2 - 1\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15}}$$ Опять смешанные дроби, переведём их в неправильные. $1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$ $1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$ Подставляем: $$\frac{\frac{14}{9} \cdot \frac{7}{15} - \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{9}}{(\frac{7}{5})^2 - \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{15}}$$ 1. **Числитель:** $\frac{14}{9} \cdot \frac{7}{15} - \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{9}$ Общий множитель здесь $\frac{7}{15}$. Выносим $\frac{7}{15}$ за скобки: $\frac{7}{15} \cdot (\frac{14}{9} - \frac{8}{9})$ Считаем в скобках: $\frac{14}{9} - \frac{8}{9} = \frac{14 - 8}{9} = \frac{6}{9}$ Дробь $\frac{6}{9}$ можно сократить на $3$: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$. Значит, числитель становится: $\frac{7}{15} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 3} = \frac{14}{45}$ 2. **Знаменатель:** $(\frac{7}{5})^2 - \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{15}$ Это то же самое, что $\frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{15}$. Общий множитель здесь $\frac{7}{5}$. Выносим $\frac{7}{5}$ за скобки: $\frac{7}{5} \cdot (\frac{7}{5} - \frac{1}{15})$ Считаем в скобках. Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $5$ и $15$ — это $15$. $\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{21}{15}$ $\frac{21}{15} - \frac{1}{15} = \frac{21 - 1}{15} = \frac{20}{15}$ Дробь $\frac{20}{15}$ можно сократить на $5$: $\frac{20 \div 5}{15 \div 5} = \frac{4}{3}$. Значит, знаменатель становится: $\frac{7}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{28}{15}$ 3. **Собираем дробь:** $$\frac{\frac{14}{45}}{\frac{28}{15}}$$ Чтобы разделить дробь на дробь, умножаем первую на перевёрнутую вторую: $$\frac{14}{45} \cdot \frac{15}{28}$$ Можно сократить! $14$ и $28$ сокращаются на $14$: $\frac{14 \div 14}{28 \div 14} = \frac{1}{2}$. $15$ и $45$ сокращаются на $15$: $\frac{15 \div 15}{45 \div 15} = \frac{1}{3}$. Получается: $$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$**