Вычисли определенный интеграл ∫(2z+3z²)dz от 1 до 2

Привет! Давай разберёмся, как найти значение этого определённого интеграла. Это не так сложно, как кажется, нужно просто следовать правилам. Сначала давай вспомним, что такое интеграл. Это как бы "обратная" операция к нахождению производной. Если производная показывает, как быстро функция меняется, то интеграл помогает найти "исходную" функцию, зная её скорость изменения. Определённый интеграл, в свою очередь, позволяет найти площадь под графиком функции на определённом отрезке. Нам нужно найти определённый интеграл: $$\int_{1}^{2}(2z+3z^2)dz$$ Вот шаги, которые мы будем выполнять: **Шаг 1: Найдём неопределённый интеграл (первообразную).** Чтобы найти неопределённый интеграл от суммы функций, мы можем найти интеграл от каждой функции по отдельности, а потом сложить результаты. Есть простое правило для интегрирования степенной функции $x^n$: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ (где $C$ - это константа, но для определённого интеграла она нам не понадобится, потому что она всё равно сократится). * **Для первого слагаемого $2z$:** Здесь $z$ в первой степени, то есть $z^1$. $$\int 2z \,dz = 2 \cdot \frac{z^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{z^2}{2} = z^2$$ * **Для второго слагаемого $3z^2$:** Здесь $z$ во второй степени. $$\int 3z^2 \,dz = 3 \cdot \frac{z^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{z^3}{3} = z^3$$ Теперь складываем эти результаты, чтобы получить первообразную (антипроизводную) для всей функции: $$F(z) = z^2 + z^3$$ **Шаг 2: Применим формулу Ньютона-Лейбница.** Эта формула помогает вычислить определённый интеграл: $$\int_{a}^{b} f(z) dz = F(b) - F(a)$$ Где $F(z)$ — это наша первообразная, $b$ — верхний предел интегрирования, а $a$ — нижний предел интегрирования. В нашем случае $a=1$ и $b=2$. **Шаг 3: Подставим значения пределов интегрирования в первообразную.** * Подставим верхний предел ($z=2$) в $F(z)$: $$F(2) = (2)^2 + (2)^3 = 4 + 8 = 12$$ * Подставим нижний предел ($z=1$) в $F(z)$: $$F(1) = (1)^2 + (1)^3 = 1 + 1 = 2$$ **Шаг 4: Вычтем значение первообразной при нижнем пределе из значения при верхнем пределе.** $$\int_{1}^{2}(2z+3z^2)dz = F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10$$ Итак, значение определённого интеграла равно 10. **Ответ:** $10$