За сколько часов каждый рабочий выполнит работу по отдельности, если вместе они делают ее за 5 часов, а один из них за 3 часа выполняет ту же работу, что другой за 5 часов

Привет! Давай разберем эту интересную задачку про рабочих вместе. Такие задачи называются "задачи на работу", и в них мы часто говорим о том, какую часть работы человек (или машина) делает за один час. Представь, что вся работа — это один большой торт, который нужно испечь. **Шаг 1: Что мы ищем и как это обозначить?** Мы ищем, сколько времени потребуется каждому рабочему, чтобы выполнить всю работу одному. * Пусть $t_1$ — это время (в часах), за которое первый рабочий сам выполнит всю работу. * Пусть $t_2$ — это время (в часах), за которое второй рабочий сам выполнит всю работу. **Шаг 2: Производительность (сколько работы они делают за 1 час).** Если первый рабочий делает всю работу за $t_1$ часов, то за 1 час он делает $\frac{1}{t_1}$ часть работы. Это его производительность. Точно так же, производительность второго рабочего — $\frac{1}{t_2}$ часть работы за 1 час. **Шаг 3: Составляем уравнения по условиям задачи.** У нас есть два важных условия: **Условие 1:** "Два рабочих могут выполнить заказ вместе за 5 ч." Это значит, что если они складывают свои усилия (производительности), то за 1 час они вместе делают $\frac{1}{5}$ часть всей работы. Значит, сумма их производительностей равна $\frac{1}{5}$: $$ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{5} $$ **Условие 2:** "Один из них за 3 ч выполняет ту же работу, что другой за 5 ч." Предположим, что "один из них" — это первый рабочий, а "другой" — второй. * Работа, которую выполнит первый рабочий за 3 часа: его производительность ($\frac{1}{t_1}$) умножить на время (3 часа) = $\frac{3}{t_1}$. * Работа, которую выполнит второй рабочий за 5 часов: его производительность ($\frac{1}{t_2}$) умножить на время (5 часов) = $\frac{5}{t_2}$. По условию, эти работы равны: $$ \frac{3}{t_1} = \frac{5}{t_2} $$ Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{5} \\ \frac{3}{t_1} = \frac{5}{t_2} \end{cases} $$ **Шаг 4: Решаем систему уравнений.** Давай упростим второе уравнение. Мы можем выразить из него $t_1$ через $t_2$ (или наоборот): Из $\frac{3}{t_1} = \frac{5}{t_2}$ следует, что $3 \cdot t_2 = 5 \cdot t_1$. Тогда $t_1 = \frac{3}{5}t_2$. Теперь подставим это выражение для $t_1$ в первое уравнение. Вместо $\frac{1}{t_1}$ мы напишем $\frac{1}{\frac{3}{5}t_2}$: $$ \frac{1}{\frac{3}{5}t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{5} $$ Перевернем дробь $\frac{1}{\frac{3}{5}t_2}$, получим $\frac{5}{3t_2}$: $$ \frac{5}{3t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{5} $$ Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю $3t_2$. Для этого вторую дробь $\frac{1}{t_2}$ умножим на $\frac{3}{3}$: $$ \frac{5}{3t_2} + \frac{1 \cdot 3}{t_2 \cdot 3} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{5}{3t_2} + \frac{3}{3t_2} = \frac{1}{5} $$ Теперь складываем числители: $$ \frac{5+3}{3t_2} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{8}{3t_2} = \frac{1}{5} $$ Чтобы найти $t_2$, мы можем "перекрестно" умножить: $8 \cdot 5 = 1 \cdot 3t_2$: $$ 40 = 3t_2 $$ Разделим обе части на 3: $$ t_2 = \frac{40}{3} \text{ часа} $$ Если перевести в смешанную дробь, это $13\frac{1}{3}$ часа. А $1/3$ часа - это 20 минут, так что второй рабочий выполнит работу за 13 часов 20 минут. Теперь найдем $t_1$, используя наше выражение $t_1 = \frac{3}{5}t_2$: $$ t_1 = \frac{3}{5} \cdot \frac{40}{3} $$ Мы можем сократить 3 в числителе и знаменателе: $$ t_1 = \frac{40}{5} $$ $$ t_1 = 8 \text{ часов} $$ Значит, первый рабочий выполнит работу за 8 часов, а второй — за $13\frac{1}{3}$ часа. **Ответ:** Первый рабочий выполнит работу за **8 часов**. Второй рабочий выполнит работу за **$\frac{40}{3}$ часа** (или $13\frac{1}{3}$ часа, или 13 часов 20 минут).