Найди значение выражения 3(6a^5)^2 / (a^5a^7) при a = √8

Привет! Давай разберём это задание шаг за шагом. Это похоже на головоломку со степенями и корнями. Сначала упростим само выражение, а потом подставим вместо $a$ число. **Шаг 1: Упрощаем выражение** Наше выражение выглядит так: $$\frac{3(6a^5)^2}{a^5a^7}$$ 1. **Разберёмся с числителем (верхняя часть дроби):** У нас есть $3(6a^5)^2$. Сначала нужно возвести в квадрат то, что в скобках. Когда мы возводим в квадрат произведение, каждый множитель возводится в квадрат: $(xy)^n = x^n y^n$. Значит, $(6a^5)^2 = 6^2 \cdot (a^5)^2$. $6^2 = 36$. А $(a^5)^2$ — это степень в степени. В этом случае показатели степеней умножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Получаем $(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$. Теперь собираем числитель: $3 \cdot 36 \cdot a^{10} = 108a^{10}$. 2. **Разберёмся со знаменателем (нижняя часть дроби):** У нас $a^5a^7$. Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Получаем $a^5a^7 = a^{5+7} = a^{12}$. 3. **Собираем всю дробь и упрощаем её:** Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{108a^{10}}{a^{12}}$$ Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели степеней вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. Значит, $\frac{a^{10}}{a^{12}} = a^{10-12} = a^{-2}$. Мы помним, что отрицательная степень означает, что число находится в знаменателе: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Поэтому $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Всё выражение становится: $108 \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{108}{a^2}$. Итак, мы упростили выражение до $\frac{108}{a^2}$. **Шаг 2: Подставляем значение $a$** Нам дано, что $a = \sqrt{8}$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение: $$\frac{108}{(\sqrt{8})^2}$$ **Шаг 3: Вычисляем результат** Мы знаем, что если число под квадратным корнем возвести в квадрат, то получится само это число: $(\sqrt{x})^2 = x$. Значит, $(\sqrt{8})^2 = 8$. Теперь нам нужно вычислить: $$\frac{108}{8}$$ Давай разделим 108 на 8 столбиком: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 0 & 8 & 8 \\ \hline 8 & & & 13,5 \\ \hline 2 & 8 \\ 2 & 4 \\ \hline & 4 & 0 \\ & 4 & 0 \\ \hline & & 0 \end{array}$$ Получилось 13,5. **Ответ:** 13,5